Question

（1）邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB′C′D′，兩圖疊成一個(gè)“蝶形風(fēng)箏”（如圖1所示陰影部分），則這個(gè)風(fēng)箏的面積是

3

3

．
（2）如圖2，邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′，邊B′C′與DC交于點(diǎn)O，則四邊形AB′OD的周長是

2

2

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B′C′與CD相交于點(diǎn)E，然后利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△AB′E全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EAB′=∠EAD，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAB′=30°，再解直角三角形求出ED的長，然后利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）延長AB′，根據(jù)正方形的對(duì)角線平方一組對(duì)角與旋轉(zhuǎn)角是45°可知AB′經(jīng)過點(diǎn)C，然后判定△OCB′是等腰直角三角形，然后設(shè)OD=OB′=x，在Rt△OCB′中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式計(jì)算求出x，從而得解．

解答：解：（1）如圖，設(shè)B′C′與CD相交于點(diǎn)E，
在Rt△ADE和Rt△AB′E，

AE=AE AD=AB′

，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴∠EAB′=∠EAD，
∵旋轉(zhuǎn)角為30°，
∴∠BAB′=30°，
∴∠EAD=

1

2

（90°-30°）=30°，
在Rt△ADE中，ED=ADtan30°=1×

3

3

=

3

3

，
∴這個(gè)風(fēng)箏的面積=2×S_△ADE=2×

1

2

×1×

3

3

=

3

3

；

（2）延長AB′，∵旋轉(zhuǎn)角為45°，
∴延長AB′經(jīng)過點(diǎn)C，
∴△OCB′是等腰直角三角形，
設(shè)OD=OB′=x，
則OC=

2

OB′=

2

x，
∴CD=

2

x+x=1，
解得x=

1

2 +1

=

2

-1，
∴四邊形AB′OD的周長=2（1+

2

-1）=2

2

．
故答案為：（1）

3

3

，（2）2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)角判斷出AB′的延長線過點(diǎn)C是解題的關(guān)鍵．