Question

已知：在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左側(cè)，直線y=kx+3與該二次函數(shù)的圖象交于D、B兩點，其中點D在y軸上，點B的坐標為（3，0）．
（1）求k的值和這個二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)拋物線的頂點為C，點F為線段DB上一點，且使得∠DCF=∠ODB，求出此時點F的坐標．
（3）在（2）的條件下，若點P為直線DB上的一個動點，過點P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E．問：是否存在這樣的點P，使得以點P、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據(jù)直線y=kx+3和點B的坐標代入即可求出k的值，再有點D的坐標代入二次函數(shù)y=-x²+bx+c中，即可求出b、c的值，即可求出答案．
（2）本題需先根據(jù)圖形得出點C的坐標，再根據(jù)已知條件的出∠ODB的度數(shù)，再做過點D作此拋物線對稱軸的垂線，從而得出點F的坐標．
（3）本題首先判斷出存在這樣的點，再根據(jù)已知條件得出以點P、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，再設(shè)出點P和點E的坐標，從而得出x的值，即可求出點P的橫坐標．

解答：解：（1）∵直線y=kx+3經(jīng)過點B（3，0），
∴可求出k=-1．
由題意可知，點D的坐標為（0，3）．
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點B和點D，

0=-9+3b+c 3=c.

解得

b=2 c=3.

∴拋物線的解析式為
y=-x²+2x+3；

（2）如圖，可求頂點C的坐標為（1，4）．
由題意，可知∠ODB=45°．
過點D作此拋物線對稱軸的垂線DG，
可知DG=CG=1，
所以此時∠DCG=45°，
則易知點F的坐標為（1，2）；

（3）存在這樣的點P，使得以點P、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
理由如下：由題意知PE∥CF，
∴要使以點P、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，只要滿足PE=CF=2即可．
∵點P在直線DB上，
∴可設(shè)點P的坐標為（x，-x+3）．
∵點E在拋物線y=-x²+2x+3上，
∴可設(shè)點E的坐標為（x，-x²+2x+3）．
∴當-x+3-（-x²+2x+3）=2時，解得x=

3± 17

2

；
當-x²+2x+3-（-x+3）=2時，解得x=1或x=2，
x=1不合題意，舍去．
∴滿足題意的點P的橫坐標分別為x1=

3+ 17

2

，x2=

3- 17

2

，x₃=2．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、坐標點的求法等知識點．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．