Question

如圖，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AE是∠BAC的角平分線．CD⊥AE，與AE的延長線交于D點，與AB的延長線交于F點．
求證：CD=

1

2

AE．

Answer 1

分析：首先證明△CBF≌△ABE可得CF=AE，再證明△ACD≌△AFD可得CD=DF=

1

2

CF，再進行等量代換可得結論CD=

1

2

AE．

解答：證明：∵CD⊥AE，
∴∠ADC=90°，
∴∠4+∠3=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠3=∠2，
∴∠1=∠4，
在△CBF和△ABE中，

∠1=∠4 AB=CB ∠ABE=∠CBF=90°

，
∴△CBF≌△ABE（ASA），
∴CF=AE，
∵AE是∠BAC的角平分線，CD⊥AE，
∴∠1=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°，
在△ACD和△AFD中，

∠CAD=∠1 AD=AD ∠ADC=∠ADF=90°

，
∴△ACD≌△AFD（ASA），
∴CD=DF=

1

2

CF，
∵AE=CF，
∴CD=

1

2

AE．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握全等三角形全等的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA．證明三角形全等必須有邊相等的條件．