Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DE方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．解答下列問(wèn)題：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ⊥AB？
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)五邊形PQBCD的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的情況下，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ分四邊形BCDE兩部分的面積之比為S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29？若存在，求出此時(shí)t的值以及點(diǎn)E到PQ的距離h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖①所示，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，△PQE是直角三角形．解決問(wèn)題的要點(diǎn)是將△PQE的三邊長(zhǎng)PE、QE、PQ用時(shí)間t表示，這需要利用相似三角形（△PQE∽△ACB）比例線段關(guān)系（或三角函數(shù)）；
（2）本問(wèn)關(guān)鍵是利用等式“五邊形PQBCD的面積=四邊形DCBE的面積-△PQE的面積”，如圖②所示．為求△PQE的面積，需要求出QE邊上的高，因此過(guò)P點(diǎn)作QE邊上的高，利用相似關(guān)系（△PME∽△ABC）求出高的表達(dá)式，從而問(wèn)題解決；
（3）本問(wèn)要點(diǎn)是根據(jù)題意，列出一元二次方程并求解．假設(shè)存在時(shí)刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，則此時(shí)S_△PQE=S_梯形DCBE，由此可列出一元二次方程，解方程即求得時(shí)刻t；點(diǎn)E到PQ的距離h利用△PQE的面積公式得到．
解答：解：（1）如圖①，在Rt△ABC中，
AC=6，BC=8
∴AB=．
∵D、E分別是AC、AB的中點(diǎn)．
AD=DC=3，AE=EB=5，DE∥BC且
DE=BC=4
∵PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°
又∵DE∥BC
∴∠AED=∠B
∴△PQE∽△ACB

由題意得：PE=4-t，QE=2t-5，
即，
解得t=；

（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于M，
由△PME∽△ACB，得，
∴，得PM=（4-t）．
S_△PQE=EQ•PM=（5-2t）•（4-t）=t²-t+6，
S_梯形DCBE=×（4+8）×3=18，
∴y=18-（t²-t+6）=t²+t+12．

（3）假設(shè)存在時(shí)刻t，使S_△PQE：S_{五邊形PQBCD}=1：29，
則此時(shí)S_△PQE=S_梯形DCBE，
∴t²-t+6=×18，
即2t²-13t+18=0，
解得t₁=2，t₂=（舍去）．
當(dāng)t=2時(shí)，
PM=×（4-2）=，ME=×（4-2）=，
EQ=5-2×2=1，MQ=ME+EQ=+1=，
∴PQ===．
∵PQ•h=，
∴h=•=（或）．
點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)點(diǎn)型綜合題，解題關(guān)鍵是掌握動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的圖形形狀、圖形面積的表示方法．所考查的知識(shí)點(diǎn)涉及到勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、解方程（包括一元一次方程和一元二次方程）等，有一定的難度．注意題中求時(shí)刻t的方法：最終都是轉(zhuǎn)化為一元一次方程或一元二次方程求解．