小李用換元法的數(shù)學思想求方程：（x2+1）2+4（x2+1）-5=0的解，他將（x2+1）看作一個整體設x2+1=y（y＞0），那么原方程可化為y2+4y-5=0，解得y1=1，y2=-5（不合題意，舍去）．當y=1時，x2+1=1，∴x2=0，∴x=0．故原方程的解為x=0，請利用這樣的數(shù)學思想解答下面問題：
在△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，求斜邊c的長．
分析：先設a 2+b2=x（x＞0），則（a 2+b2 ）（a 2+b2+1）=12可化為x2+x-12=0，求出x的解，得出a 2+b2的值為3，根據(jù)∠C=90°，得出a 2+b 2=c2，即可求出斜邊c的長．
解答：解：設a 2+b2=x（x＞0），則（a 2+b2 ）（a 2+b2+1）=12化為：x（x+1）=12，即x2+x-12=0，
解得：x 1=3，x 2=-4＜0 （不合題意，舍去），
∴a 2+b2的值為3，
∵∠C=90°，
∴a 2+b 2=c2，
∴c2=3，
∴c=
3

答：斜邊c的長為
3
．
點評：此題考查了換元法解一元二次方程，關鍵是把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替它，實行等量替換，再進行求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

換元法是把一個比較復雜的數(shù)學式子的一部分看成是一個整體，用另一個字母代替這一部分（即換元）．換元法的好處是能使式子得到簡化，各項的關系容易看清，便于解決問題．此方法充分體現(xiàn)了整體的數(shù)學思想．例如：用換元法解分式方程
2x-1
x
-
x
2x-1
=2時，如果設
2x-1
x
=y，并將原方程化為關于y的整式方程，那么這個整式方程是y2-2y-1=0，然后在解出y1和y2，再將y1和y2替換成
2x-1
x
=y1和
2x-1
x
=y2，即可解出x1和x2．請用換元法解方程：x2-
12
x2-2x
=2x-1．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

在一次數(shù)學興趣小組的活動課上，有下面的一段對話，請你閱讀完后再解答問題．
老師：同學們，今天我們來探索如下方程的解法：(
x
x-1
)2-4(
x
x-1
)+4=0．
學生甲：老師，原方程可整理為
x2
(x-1)2
-
4x
x-1
+4=0，再去分母，行得通嗎？
老師：很好，當然可以這樣做．
再仔細觀察，看看這個方程有什么特點？還可以怎樣解答？
學生乙：老師，我發(fā)現(xiàn)
x
x-1
是整體出現(xiàn)的！
老師：很好，我們把
x
x-1
看成一個整體，用y表示，即可設
x
x-1
=y，那么原方程就變?yōu)閥2-4y+4=0．
全體學生：噢，等號左邊是一個完全平方式？！方程可以變形成（y-2）2=0
老師：大家真會觀察和思考，太棒了！顯然y2-4y+4=0的根是y=2，那么就有
x
x-1
=2
學生丙：對啦，再解這兩個方程，可得原方程的根x=2，再驗根就可以了！
老師：同學們，通常我們把這種方法叫做換元法，這是一種重要的轉化方法．
全體同學：OK，換元法真神奇！
現(xiàn)在，請你用換元法解下列分式方程（組）：
（1）(
2x
x-1
)2-
4x
x-1
+1=0
（2）
6
x-y
+
4
x+y
=3
9
x-y
-
1
x+y
=1
．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

小李用換元法的數(shù)學思想求方程：（x2+1）2+4（x2+1）-5=0的解，他將（x2+1）看作一個整體設x2+1=y（y＞0），那么原方程可化為y2+4y-5=0，解得y1=1，y2=-5（不合題意，舍去）．當y=1時，x2+1=1，∴x2=0，∴x=0．故原方程的解為x=0，請利用這樣的數(shù)學思想解答下面問題：
在△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，求斜邊c的長．

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科目：初中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

小李用換元法的數(shù)學思想求方程：（x2+1）2+4（x2+1）-5=0的解，他將（x2+1）看作一個整體設x2+1=y（y＞0），那么原方程可化為y2+4y-5=0，解得y1=1，y2=-5（不合題意，舍去）．當y=1時，x2+1=1，∴x2=0，∴x=0．故原方程的解為x=0，請利用這樣的數(shù)學思想解答下面問題：
在△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，求斜邊c的長．

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