Question

已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（與A不重合）在射線AO上，點(diǎn)C在x軸上方，且△ABC為等邊三角形，射線AC交y軸于D．
（1）當(dāng)AB=4時(shí)，則點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)分別是：B：______，C：______，D：______；
（2）若AB=m（m＞0），則點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是：B：______，C：______；
當(dāng)C、D不重合時(shí)，請(qǐng)根據(jù)m的不同取值，對(duì)于過(guò)B、C、D三點(diǎn)的二次函數(shù)開(kāi)口方向作出判斷，直接寫(xiě)出結(jié)論（不要求證明）．
（3）是否存在點(diǎn)B，使？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（與A不重合）在射線AO上，AB=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AE=AB=2，CE=AE=2，
∴OE=AE-OA=2-1=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；
在△AOD中，∵∠AOD=90°，∠OAD=60°，OA=1，
∴OD=OA•tan60°=，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；

（2）∵AB=m，點(diǎn)A（-1，0），
∴B（m-1，0）；
過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AE=AB=m，CE=AE=m，
∵點(diǎn)A（-1，0），
∴點(diǎn)E（m-1，0），
C點(diǎn)坐標(biāo)為（m-1，m）．
∵C、D不重合，
∴m≠2，
又m=1時(shí)，B與O重合，過(guò)B、C、D三點(diǎn)的二次函數(shù)不存在，
∴m≠1且m≠2．
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，B點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，過(guò)B、C、D三點(diǎn)的拋物線開(kāi)口向上；
當(dāng)m＞1（m≠2）時(shí)，B點(diǎn)在x軸正半軸上，過(guò)B、C、D三點(diǎn)的拋物線開(kāi)口向下；

（3）存在點(diǎn)B，使S_△BCD=．理由如下：
設(shè)AB=m，分兩種情況：
①當(dāng)m＞2時(shí)，如備用圖1．
S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=m²-m•=m²-m，
由m²-m=，
解得m₁=，m₂=（不滿足m＞2，舍去），
所以有m=，-1+=，
這時(shí)點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（）；
②當(dāng)0＜m＜2時(shí)，如備用圖2，S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=m•-m²=-m²+m，
由-m²+m=，
解得m₁=，m₂=，
-1+=-，-1+=，
這時(shí)點(diǎn)B₂的坐標(biāo)為（），點(diǎn)B₃的坐標(biāo)為（）．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（），（）和（）時(shí)，有S_△BCD=．
故答案為（3，0），（1，2），（0，）；（m-1，0），（m-1，m）．
分析：（1）由點(diǎn)A（-1，0）及AB=4，易得出B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，AE=AB=2，CE=AE=2，則OE=1，得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）；解Rt△AOD，得出OD=OA•tan60°=，進(jìn)而得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）；
（2）先由AB=m，點(diǎn)A（-1，0），得出B（m-1，0）；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，AE=AB=m，CE=AE=m，由兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)E（m-1，0），則C點(diǎn)坐標(biāo)為（m-1，m）；先由已知條件得出m≠1且m≠2，再分兩種情況進(jìn)行討論：①0＜m＜1，②m＞1（m≠2），根據(jù)B、C、D三點(diǎn)的位置及拋物線的形狀特征，即可得到過(guò)B、C、D三點(diǎn)的二次函數(shù)的開(kāi)口方向；
（3）設(shè)AB=m，分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)m＞2時(shí)，如備用圖1，先根據(jù)三角形的面積公式得出S_△BCD=S_△ABC-S_ABD=m²-m，再列出方程m²-m=，解方程即可求出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)；
②當(dāng)0＜m＜2時(shí)，如備用圖2，先根據(jù)三角形的面積公式得出S_△BCD=S_△ABD-S_ABC=-m²+m，再解方程-m²+m=，解方程即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，二次函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，三角形的面積，解一元二次方程等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．