Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F(xiàn)，交AD，BC于點M，N．下列結論：

①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．

其中正確的結論有（　�。�

A．

5個

B．

4個

C．

3個

D．

2個

Answer 1

考點：

相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質

分析：

依據(jù)正方形的性質以及勾股定理、矩形的判定方法即可判斷△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形，從而作出判斷．

解答：

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=∠DAC=45°．

∵在△APE和△AME中，

，

∴△APE≌△AME，故①正確；

∴PE=EM=PM，

同理，F(xiàn)P=FN=NP．

∵正方形ABCD中AC⊥BD，

又∵PE⊥AC，PF⊥BD，

∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE

∴四邊形PEOF是矩形．

∴PF=OE，

∴PE+PF=OA，

又∵PE=EM=PM，F(xiàn)P=FN=NP，OA=AC，

∴PM+PN=AC，故②正確；

∵四邊形PEOF是矩形，

∴PE=OF，

在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，

∴PE²+PF²=PO²，故③正確．

∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤；

∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．

∴PM=PN，

又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，

∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確．

故選B．

點評：

本題是正方形的性質、矩形的判定、勾股定理得綜合應用，認識△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四邊形PEOF是矩形是關鍵．