已知:在矩形ABCD中,E為邊BC上的一點(diǎn),AE⊥DE,AB=12,BE=16,F(xiàn)為線段BE上一點(diǎn),EF=7,連接AF。如圖1,現(xiàn)有一張硬紙片△GMN,∠NGM=900,NG=6,MG=8,斜邊MN與邊BC在同一直線上,點(diǎn)N與點(diǎn)E重合,點(diǎn)G在線段DE上。如圖2,△GMN從圖1的位置出發(fā),以每秒1個單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動,同時,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),以每秒1個單位的速度沿AD向點(diǎn)D勻速移動,點(diǎn)Q為直線GN與線段AE的交點(diǎn),連接PQ。當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)B時,△GMNP和點(diǎn)同時停止運(yùn)動。設(shè)運(yùn)動時間為t秒,解答問題:

(1)在整個運(yùn)動過程中,當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時,求t的值;

(2)在整個運(yùn)動過程中,是否存在點(diǎn)P,使△APQ是等腰三角形,若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;

(3)在整個運(yùn)動過程中,設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍。

 

【答案】

解:(1)∵∠NGM=900,NG=6,MG=8,,

∴由勾股定理,得NM=10。

當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時,如圖,

此時,GG′=MN=10。

∵△GMN從圖1的位置出發(fā),以每秒1個單位的速度沿EB向點(diǎn)B勻速移動,

∴t=10秒。

(2)存在。

由矩形ABCD中,AB=12,BE=16,得AE=20。

①當(dāng)0<t≤10時,線段GN與線段AE相交,如圖,過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H,QI⊥AB于點(diǎn)I,過點(diǎn)P作PJ⊥IJ于點(diǎn)J。

根據(jù)題意,知AP=EN=t,

由△QNE∽△GNM得,即,∴。

由△QHE∽△NGM得,即,

。

若AP=AQ,則,解得,不存在;

若AP=PQ,則,△<0,無解,不存在;

若AQ=PQ,則,無正數(shù)解,不存在。

②當(dāng)10<t≤16時,線段GN的延長線與線段AE相交,如圖,過點(diǎn)Q作QH⊥BC于點(diǎn)H,QI⊥AB于點(diǎn)I,過點(diǎn)P作PJ⊥IJ于點(diǎn)J。

同上,AP=EN=t,

由△QNE∽△GNM得,即,∴。

由△QHE∽△NGM得,即

。

。

若AP=AQ,則,解得

若AP=PQ,則,△<0,無解,不存在;

若AQ=PQ,則,無正數(shù)解,不存在。

綜上所述,存在,使△APQ是等腰三角形。

(3)S與t的函數(shù)關(guān)系式為

【解析】(1)由勾股定理,求出MN的長,點(diǎn)Q運(yùn)動到AE上時的距離MN的長,離從而除以速度即得t的值。

(2)分0<t≤10和10<t≤16兩種情況討論,每種情況分AP=AQ,AP=PQ,AQ=PQ三種情況討論。

(3)當(dāng)0<t≤7時,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△QNE的面積,

由(2)①,EN=t,,∴。

當(dāng)7<t≤10時,如圖,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形QIFE的面積,它等于△NQE的面積減去△NIF的面積。

由(2)①,EN=t,,∴。

過點(diǎn)I 作IJ⊥BC于點(diǎn)J,

∵EF=7,EN=t,∴

由△FJI∽△FBA得,即

由△INJ∽△MNG得,即。

二式相加,得!

。

當(dāng)10<t≤時,如圖,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于四邊形GIFM的面積,它等于△GMN的面積減去△INF的面積。

過點(diǎn)I 作IH⊥BC于點(diǎn)H,

∵EF=7,EN=t,∴

由△FHG∽△FBA得,即。

由△INH∽△MNG得,即

二式相加,得!

。

當(dāng)<t≤16時,如圖,△GMN與△AEF重疊部分的面積等于△IFM的面積。

,

  (同上可得),

。

綜上所述,

 

練習(xí)冊系列答案
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如圖1所示,已知:在矩形ABCD中,AB=6,點(diǎn)P在AD邊上.
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(2)在問題(1)中,當(dāng)AD=13時,求tan∠PBC;
(3)如圖2所示,原題目中的條件不變,且AP=3,DP=9,M是線段BP上一點(diǎn),過點(diǎn)M作MN∥BC交PC于點(diǎn)N,分別過點(diǎn)M,N作ME⊥BC于點(diǎn)E,NF⊥BC于點(diǎn)F,并且矩形MEFN和矩形ABCD的長與寬之比相等,求MN.
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(2)如圖2,當(dāng)b>2a時,點(diǎn)M在運(yùn)動的過程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,請給與證明;若不存在,請說明理由;
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(1)DE的長為
-
8
3
t2+
16
3
t
-
8
3
t2+
16
3
t
(用含t的代數(shù)式表示);
(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)的同時,直線BD沿著射線AD的方向以3cm/s的速度從D點(diǎn)出發(fā),以CP長為直徑作圓⊙O,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時,直線BD也停止運(yùn)動.當(dāng)⊙O與直線BD相切時,求DE的值.

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(1)在整個運(yùn)動過程中,當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時,求t的值;
(2)在整個運(yùn)動過程中,是否存在點(diǎn)P,使△APQ是等腰三角形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由;
(3)在整個運(yùn)動過程中,設(shè)△GMN與△AEF重疊部分的面積為S.請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.

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