Question

已知四邊形ABCD中，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BC=AB+CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：在BC上截取BF=AB，利用“邊角邊”證明△ABE和△FBE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEB=∠FEB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得∠ABC+∠BCD=180°，然后求出∠2+∠3=90°，從而得到∠BEC=90°，再根據(jù)等角的余角相等求出∠CEF=∠CED，然后利用“角邊角”證明△CEF和△CED全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=CF，再根據(jù)BC=BF+CF等量代換即可得證．

解答：證明：如圖，在BC上截取BF=AB，
在△ABE和△FBE中，

BF=AB ∠1=∠2 BE=BE

，
∴△ABE≌△FBE（SAS），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BEC=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中，

∠3=∠4 CE=CE ∠CEF=∠CED

，
∴△CEF≌△CED（ASA），
∴CD=CF，
∵BC=BF+CF，
∴BC=AB+CD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．