Question

（2012•常州模擬）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=3．點(diǎn)E在線段BA上從B點(diǎn)以每秒1個單位的速度出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動，F(xiàn)是射線CD上一動點(diǎn)，在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中始終保持EF=5，且CF＞BE，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，連接AP．設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動時間為ts．
（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當(dāng)AP的長度取得最小值時，點(diǎn)P的位置應(yīng)該在

AD的中點(diǎn)

．
（2）當(dāng)AP⊥EF時，求出此時t的值
（3）以P為圓心作⊙P，當(dāng)⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時，求出此時t的值，并指出此時⊙P的半徑長．

Answer 1

分析：（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當(dāng)AP的長度取得最小值時，點(diǎn)P的位置應(yīng)該在AD的中點(diǎn)，理由為：由P為EF的中點(diǎn)得到一對邊相等，再由一對直角相等及一對對頂角相等，利用AAS可得出三角形AEP與三角形DFP全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AP=DP，則此時P為AD的中點(diǎn)；
（2）首先過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，易證得△APE∽△EGF，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得AE的長，繼而求得答案；
（3）分兩種情況考慮：當(dāng)⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點(diǎn)Q、R、N時，連接PQ，PR，PN，如圖3所示，可得出四邊形AQPR和四邊形RPND為兩個全等的正方形，其邊長為大正方形邊長的一半，在直角三角形PQE中，由PE與PQ的長，利用勾股定理求出EQ的長，進(jìn)而由BA+AQ-EQ求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑；當(dāng)⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點(diǎn)Q、R、N時，如圖4所示，同理求出BE的長，即為t的值，并求出此時⊙P的半徑．

解答：解：（1）在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中，AP的長度存在一個最小值，當(dāng)AP的長度取得最小值時，如圖所示，
∵P為EF的中點(diǎn)，
∴EP=FP，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A=∠PDF=90°，
在△AEP和△DFP中，

∠A=∠PDF=90°  ∠APE=∠DPF  EP=FP

，
∴△AEP≌△DFP（AAS），
∴AP=DP，
則此時P為AD的中點(diǎn)；
故答案為：AD的中點(diǎn)；

（2）過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，
則四邊形BCGE是矩形，
∴EG=BC=3，AB∥CD，
∴FG=

EF2-EG2

=4，∠AEP=∠EFG
∵AP⊥EF，
∴∠APE=∠EGF=90°，
∴△APE∽△EGF，
∴

AE

EF

=

EP

GF

，
∴

AE

5

=

5 2

4

，
解得：AE=

25

8

，
∴BE=AB-AE=6-

25

8

=

23

8

，
∴t=

23

8

；

（3）如圖3，當(dāng)⊙P在矩形ABCD內(nèi)分別與AB、AD、CD相切于點(diǎn)Q、R、N時，
連接PQ、PR、PN，則PQ⊥AB、PR⊥AD、PN⊥CD，
則四邊形AQPR與四邊形RPND為兩個全等的正方形，
∴PQ=AQ=AR=DR=

1

2

AD=

3

2

，
在Rt△PQE中，EP=

5

2

，由勾股定理可得：EQ=2，
∴BE=BA-EQ-AQ=6-2-

3

2

=

5

2

，
∴t=

5

2

，此時⊙P的半徑為

3

2

；
如圖4，當(dāng)⊙P在矩形ABCD外分別與射線BA、AD、射線CD相切于點(diǎn)Q、R、N時，
類比圖3可得，EQ=2，AQ=

3

2

，
∴BE=BA+AQ-EQ=6+

3

2

-2=

11

2

，
∴t=

11

2

，此時⊙P的半徑為

3

2

．

點(diǎn)評：此題考查了圓綜合題，涉及的知識有：正方形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化及分類討論的思想的應(yīng)用．