Question

如圖（1），點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=α°，∠BOC=β°
（1）將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD，如圖（2）所示，求證：OD=OC；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，連結(jié)DE，如圖（3）所示，求證：OA=DE；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)α=______，β=______ 時(shí)，點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上．

Answer 1

（1）證明：∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴CO=CD，∠DCO=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴OD=OC；

（2）證明：∵等邊△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，
∴CA=CE，∠ACE=∠BCA=60°，
∵∠DCO=60°，
∴∠DOC-∠ACD=∠ACE-∠ACD，
∴∠ACO=∠ECD，
在△ACO和△ECD中，
，
∴△ACO≌△ECD（SAS），
∴OA=DE；

（3）解：∵△COD是等邊三角形，
∴∠DOC=60°，∠ODC=60°，
∵B、O、D、E點(diǎn)共線，
∴β=180°-∠DOC=120°，∠EDC=180°-∠ODC=120°，
∵△ACO≌△ECD，
∴∠AOC=∠EDC=120°，
∴α=360°-∠AOC-β=120°．
故答案為120°，120°．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CO=CD，∠DOC=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法得到△COD是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CA=CE，∠ACE=∠BCA=60°，而∠DCO=60°，則易得∠ACO=∠ECD，然后根據(jù)“SAS”可判斷△ACO≌△ECD，于是有OA=DE；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由△COD是等邊三角形得到∠DOC=60°，∠ODC=60°，當(dāng)點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上，則β=120°，∠EDC=120°，再根據(jù)
△ACO≌△ECD得到∠AOC=∠EDC=120°，然后利用周角的定義計(jì)算α．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．