如圖(1),點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn),設(shè)∠AOB=α°,∠BOC=β°
(1)將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,連結(jié)OD,如圖(2)所示,求證:OD=OC;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC,連結(jié)DE,如圖(3)所示,求證:OA=DE;
(3)在(2)的基礎(chǔ)上,當(dāng)α=______,β=______ 時(shí),點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上.

(1)證明:∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC,
∴CO=CD,∠DCO=60°,
∴△COD是等邊三角形,
∴OD=OC;

(2)證明:∵等邊△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC,
∴CA=CE,∠ACE=∠BCA=60°,
∵∠DCO=60°,
∴∠DOC-∠ACD=∠ACE-∠ACD,
∴∠ACO=∠ECD,
在△ACO和△ECD中,
,
∴△ACO≌△ECD(SAS),
∴OA=DE;

(3)解:∵△COD是等邊三角形,
∴∠DOC=60°,∠ODC=60°,
∵B、O、D、E點(diǎn)共線,
∴β=180°-∠DOC=120°,∠EDC=180°-∠ODC=120°,
∵△ACO≌△ECD,
∴∠AOC=∠EDC=120°,
∴α=360°-∠AOC-β=120°.
故答案為120°,120°.
分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CO=CD,∠DOC=60°,根據(jù)等邊三角形的判定方法得到△COD是等邊三角形,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CA=CE,∠ACE=∠BCA=60°,而∠DCO=60°,則易得∠ACO=∠ECD,然后根據(jù)“SAS”可判斷△ACO≌△ECD,于是有OA=DE;
(3)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)由△COD是等邊三角形得到∠DOC=60°,∠ODC=60°,當(dāng)點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上,則β=120°,∠EDC=120°,再根據(jù)
△ACO≌△ECD得到∠AOC=∠EDC=120°,然后利用周角的定義計(jì)算α.
點(diǎn)評(píng):本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

24、如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)探究:線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎?若是,請(qǐng)證明,若不是,則說明理由.
(3)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處,且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC中,點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過P作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:PE=PF;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形AECF可能是矩形嗎?說明理由;
(3)若在AC邊上存在點(diǎn)P,使四邊形AECF是正方形,且
AP
BC
=
3
2
.求此時(shí)∠BAC的大小.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠B精英家教網(wǎng)CA的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)探究:線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處,且△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形AECF是正方形?
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),四邊形BCFE會(huì)是菱形嗎?若是,請(qǐng)證明,若不是,則說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•張家界)如圖,△ABC中,點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點(diǎn)E,交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的長(zhǎng);
(3)當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形AECF是矩形?并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

24.數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1,△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn).∠ADE=60°,且DE交△ABC外角∠ACF的平分線CE于點(diǎn)E,求證:AD=DE.
經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:取AB的中點(diǎn)M,連接MD,則△BMD是等邊三角形,易證△AMD≌△DCE,所以AD=DE.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(1)小穎提出:如圖2,如果把“點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)D是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AD=DE”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說明理由;
(2)小亮提出:如圖3,點(diǎn)D是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AD=DE”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)
正確
正確
(填“正確”或“不正確”).

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