Question

已知點O在直線l上，是以O(shè)為圓心的某圓上的一段弧，∠AOD=90°，分別過A、D兩點作l的垂線，垂足為B、C．
（1）當(dāng)點A、D在直線l的同側(cè)時，試探索線段AB、BC、CD之間有怎樣的等量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論并予以證明；當(dāng)點A、D在直線l的兩側(cè)時，且AB≠CD時，線段AB、BC、CD之間又有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出結(jié)論（不必證明）．
（2）如圖，

當(dāng)點A、D在直線l的同側(cè)，如果AB=3，CD=4，點M是的中點，MN⊥BC，垂足為點N，求MN的長．

Answer 1

（1）解：AB+CD=BC．
①證：在Rt△ABO和Rt△OCD中，
∵∠BAO+∠AOC=90°，∠DOC+∠AOC=90°
∴∠BAO=∠DOC
∵OA=OD
∴Rt△ABO≌Rt△OCD
∴AB=OC，BO=CD
∴AB+CD=OC+BO=BC
即：AB+CD=BC
②BC=|AB-CD|．

（2）過點A作AH⊥CD，垂足為點H，連接MO
得：四邊形ABCH為矩形，
∴AH=BC=AB+CD=7，DH=1
∴
∵AB=OC，
∴
∴OM=OD=5
∵點M是弧的中點，
∴AD⊥OM
∵MN⊥BC，AH∥BC，
∴MN⊥AH
∴∠DAH=∠OMN
∴Rt△DAH∽Rt△OMN
∴
∴
∴
分析：（1）根據(jù)圓的性質(zhì)可知OA=OD，根據(jù)已知可得∠ABC=∠OCD=∠AOD=90°，由余角的性質(zhì)可得∠AOB=∠ODC
即可證得Rt△ABO≌Rt△OCD，可得AB+CD=BC；在兩側(cè)的證明方法一樣，可求得BC=|AB-CD|．
（2）此題需要借助于輔助線，需要構(gòu)造矩形與相似三角形，根據(jù)它們的性質(zhì)求解即可，輔助線為過點A作AH⊥CD，垂足為點H，連接MO，可得矩形，又點M是弧的中點，AD⊥OM，MN⊥BC，所以AH∥BC，即得MN⊥AH，∠DAH=∠OMN，即可證Rt△DAH∽Rt△OMN；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．
點評：此題考查了圓與相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意輔助線的作法，選擇好輔助線會達到事半功倍的效果．