Question

已知點(diǎn)O是直線AB上的一點(diǎn)，∠COE=90°，OF是∠AOE的平分線．
（1）當(dāng)點(diǎn)C，E，F(xiàn)在直線AB的同側(cè)（如圖1所示）時(shí)．試說明∠BOE=2∠COF；
（2）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)E，F(xiàn)在直線AB的兩旁（如圖2所示）時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)給出你的結(jié)論并說明理由；
（3）將圖2中的射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)m°（0＜m＜180），得到射線OD．設(shè)∠AOC=n°，若∠BOD=(60-

2n

3

)°，則∠DOE的度數(shù)是

（30+

5

3

n）°或（150+

1

3

n）°

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠COF=α，則∠EOF=90°-α，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出∠AOF、∠AOC、推出∠BOE即可；
（2）設(shè)∠AOC=β，求出∠AOF，推出∠COF、∠BOE、即可推出答案；
（3）根據(jù)∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE或∠DOE=∠BOE+∠BOD和∠AOE=90°-∠AOC，代入求出即可．

解答：解：（1）設(shè)∠COF=α，則∠EOF=90°-α，
∵OF是∠AOE平分線，
∴∠AOF=90°-α，
∴∠AOC=（90°-α）-α=90°-2α，
∠BOE=180°-∠COE-∠AOC，
=180°-90°-（90°-2α），
=2α，
即∠BOE=2∠COF；

（2）解：成立，
設(shè)∠AOC=β，則∠AOF=

90°-β

2

，
∴∠COF=45°+

β

2

=

1

2

（90°+β），
∠BOE=180°-∠AOE，
=180°-（90°-β），
=90°+β，
∴∠BOE=2∠COF；

（3）解：
分為兩種情況：如圖3，∠DOE=180°-∠BOD-∠AOE，
=180°-（60-

2n

3

）°-（90°-n°），
=（30+

5

3

n）°，
如圖4，
∵∠BOE=180°-∠AOE=180°-（90°-n°）=90°+n°，∠BOD=（60-

2n

3

）°
∴∠DOE=∠BOE+∠BOD，
=（90°+n°）+（60-

2n

3

）°，
=（150+

1

3

n）°
故答案為：（30+

5

3

n）°或（150+

1

3

n）°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線定義，角的大小計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，有一定的代表性．