如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,點D為BC邊上的動點(D不與B、C重合),∠AD精英家教網(wǎng)E=45°,DE交AC于點E.
(1)∠BAD與∠CDE的大小關(guān)系為
 
.請證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)BD=x,AE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)△ADE是等腰三角形時,求AE的長;
(4)是否存在x,使△DCE的面積是△ABD面積的2倍?若存在,求出x的值,若不存在,請說明理由.
分析:(1)由AB=AC易知△ABC是等腰直角三角形,即∠B=∠C=45°,已知∠ADE=45°,由三角形內(nèi)角和定理以及平角的定義可得∠BAD、∠CDE都等于180°-45°-∠ADB,由此可證得兩角相等.
(2)由(1)的等角,聯(lián)立∠B=∠C=45°,可證得△DCE∽△ABD,根據(jù)相似三角形所得比例線段,即可表示出CE的長,進(jìn)而由AE=AC-CE求得y、x的函數(shù)關(guān)系式.
(3)由于D與B、C不重合,顯然∠ADE=∠AED=45°不符合題意,即AD≠AE,所以此題分兩種情況討論:
①AD=DE,此時(2)的相似三角形全等,由此可求得CD、BD的長,進(jìn)而可得CE、AE的值;
②AE=DE,此時∠DAE=45°,即AD平分∠BAC,由于△BAC是等腰直角三角形,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知AD垂直平分BC,同理可證得DE垂直平分AC,即AE為AC長的一半,由此得解.
(4)若△DCE的面積是△ABD面積的2倍,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方可知:CE=
2
BD,然后表示出AE的長,代入(2)的函數(shù)關(guān)系式中,即可求得x的值,若x=0,則說明D、B重合,顯然不存在符合條件的x,若x的值符合(2)的自變量取值范圍,那么x的值即為所求.
解答:(本小題滿分14分)
解:(1)相等;(1分)
證明如下:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠B=∠C=45°.如圖1,
∵∠1+∠B+∠ADB=180°,
∴∠1+∠ADB=180°-∠B=135°.
又∵∠2+∠ADE+∠ADB=180°,
∴∠2+∠ADB=180°-∠ADE(2分)
=180°-45°=135°,
即∠1+∠ADB=∠2+∠ADB,
∴∠1=∠2.(3分)精英家教網(wǎng)

(2)由(1)知∠1=∠2,又∵∠B=∠C=45°,
∴△DCE∽△ABD.(4分)
若BD=x,則CD=BC-BD=2
2
-x,
由△DCE∽△ABD得
CE
BD
=
CD
AB
,即
CE
x
=
2
2
-x
2

CE=
1
2
(2
2
-x)x,
=-
1
2
x2+
2
x,(5分)
y=AE=AC-CE=2-(-
1
2
x2+
2
x)
∴y=
1
2
x2-
2
x+2,(6分)
其中0<x<2
2
.(7分)

(3)解:∵點D不能與B點重合,∴AD=AE不能成立(8分)
(或:∵∠ADE=45°,若AD=AE,
則∠AED=ADE=45°,從而∠DAE=90°,
即B與D重合,這與已知條件矛盾).
①當(dāng)AE、DE為腰,即AE=DE時(如圖2),
∠EAD=∠EDA=45°,此時,AD平分∠BAC,
∴D為BC邊的中點(“三線合一”性質(zhì)),
且E也為AC邊的中點,∴AE=1;(9分)
②當(dāng)AD、DE為腰,即AD=DE時(如圖3),
由(1)△ABD∽△DCE知,此時AD與DE為對應(yīng)邊,
∴△ABD≌△DCE,DC=AB=2,
BD=BC-CD=2
2
-2,AE=AC-EC
=2-BD=2-(2
2
-2)=4-2
2
;(10分)
綜上所述,當(dāng)△ADE是等腰三角形時,
AE的長為1或4-2
2
;(11分)
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(4)不存在.(12分)
原因如下:∵△DCE∽△ABD,若△DCE的面積是△ABD面積的2倍,則
S△CDE
S△ABD
=2,
從而
CE
BD
=
2
,CE=
2
BD,-
1
2
x2+
2
x=
2
x,
解得x=0,即BD=0,就是說D點與B點重合,(13分)
這與已知條件矛盾,
∴不存在x,使△DCE的面積是△ABD面積的2倍.(14分)
點評:此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì),同時還涉及到分類討論的數(shù)學(xué)思想,難度較大.
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