Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，CD交AM，BN于點(diǎn)D，C，DO平分∠ADC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R．

 

Answer 1

【答案】

（1）過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=OA，由OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，即可作出判斷；（2）6

【解析】

試題分析：（1）過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE=OA，由OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，即可作出判斷；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥AD，AB⊥BC，從而可證得四邊形ABFD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BF，AB=DF，從而可得FC的長，再根據(jù)切線的性質(zhì)求得DC的長，在Rt△DFC中，根據(jù)勾股定理即可求得DF的長，從而求得結(jié)果.

（1）過O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，

∵AM切⊙O于點(diǎn)A，

∴OA⊥AD，

又∵DO平分∠ADC，

∴OE=OA，

∵OA為⊙O的半徑，

∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，

∴CD是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，

∵AM，BN分別切⊙O于點(diǎn)A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴四邊形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，

∵AM，BN，DC分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE，

∴DC=AD+BC=4+9=13，

在Rt△DFC中，DC²=DF²+FC²，

∴DF==12，

∴AB=12，

∴⊙O的半徑R是6．

考點(diǎn)：切線的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理

點(diǎn)評：在證切線的問題中，一般先連接切點(diǎn)和圓心，再證明垂直；同時(shí)熟記切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.