Question

如圖，點0₂是⊙0₁上一點，⊙0₁與⊙0₂相交于A、D兩點，BC⊥AD，垂足為D，分別交⊙0₁與⊙O₂于B、C兩點，延長D0₂交⊙0₂于E，交BA延長線于F，B0₂交AD于G，連接AC．
（1）求證：∠BGD=∠C；
（2）如果∠D0₂C=45°，求證：AD=AF；
（3）如果BF=6CD，且線段BD、BF的長是關(guān)于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的兩個實數(shù)根，求cos∠ABD的值．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用直徑所對圓周角=90°，等角的余角相等，對頂角相等證明；
（2）只需證明∠F=∠ADF即可．由A，B，D，O₂四點共圓知∠ABD=∠DO₂C=45°，∠BAD=45°，△DCO₂中，O₂C=O₂D，頂角已知，求出底角∠O₂DC的度數(shù)，∠ADF=90°-∠O₂DC，∠F=∠O₂DC-∠ABD，可知∠F=∠ABD；
（3）由已知條件，可以知道，首先應(yīng)求出BD與CD的關(guān)系，這樣BD與BF都用CD表示，再由根與系數(shù)的關(guān)系，求出m的值，回代方程，求出BD，BF的值，根據(jù)根的判別式進(jìn)行檢驗，求出AB的長即可得出cos∠ABD的值．

解答：（1）證明：∵BC⊥AD于D，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
∴AB、AC分別為⊙O₁、⊙O₂的直徑，
∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，
∴∠BGD=∠C；

（2）證明：∵∠DO₂C=45°，
∴∠ABD=45°，
∵O₂D=O₂C，
∴∠C=∠O₂DC=12（180-∠DO₂C）=67.5°，
∴∠4=22.5°，
∵∠O₂DC=∠ABD+∠F，
∴∠F=∠4=22.5°，
∴AD=AF；

（3）解：∵BF=6CD，
∴設(shè)CD=k，則BF=6k，
連接AE，則AE⊥AD，
∴AE∥BC，
∴

AE

BD

=

AF

BF

，
∴AE•BF=BD•AF，
又∵在△AO₂E和△DO₂C中，AO=DO₂，∠AOE=∠DOC，O₂E=O₂C，
∴△AO₂E≌△DO₂C，
∴AE=CD=k，
∴6k²=BD•AF=（BC-CD）（BF-AB），
∵∠BO₂A=90°，O₂A=O₂C，
∴BC=AB，
∴6k²=（BC-k）（6k-BC），
∴BC²-7kBC+12k²=0，
解得：BC=3k，或BC=4k，
當(dāng)BC=3k時，BD=2k，
∵BD、BF的長是關(guān)于x的方程x²-（4m+2）x+4m²+8=0的兩個實數(shù)根，
∴由根與系數(shù)的關(guān)系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2，BD•BF=12k²=4m²+8，
整理，得：4m²-12m+29=0，
∵△=（-12）²-4×4×29=-320＜0，此方程無實數(shù)根，
∴BC=3k舍去，
當(dāng)BC=4k時，BD=3k，
∴3k+6k=4m+218k²=4m²+8，
整理，得：m²-8m+16=0，解得：m₁=m₂=4，
∴原方程可化為x²-18x+72=0，
解得：x₁=6，x₂=12，
∴BD=6，BF=12．
∴CD=2，∵AF=AD，
∴設(shè)AF=AD=x，
∴BF-x=AB，
∴AB²=AD²+BD²，
∴（12-x）²=x²+36，
解得：x=4.5，
∴AB=12-4.5=7.5，
cos∠ABD=

BD

AB

=

6

7.5

=

4

5

．

點評：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)，應(yīng)注意（1）在圓中證明兩個角相等時，通常將它們等量轉(zhuǎn)化；（2）證明兩邊相等時，如果兩邊在同一個三角形中，則證明它們所對的角相等；（3）本問中有四個未知量，BF，CD，BD，m，而只有三個方程BF=6CD，根與系數(shù)的關(guān)系可以列出兩個，所以要根據(jù)條件先求出BD與CD的關(guān)系，這樣三個未知數(shù)，三個方程可以求出結(jié)果．