Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，交BC于D點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)，BD=DE
（1）求證：△ABC是等腰三角形；
（2）若E是AC的中點(diǎn)，求的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：連接AD，
∵AB是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵BD=DE，
∴∠BAD=∠EAD，
而AD=AD，
∴△ABD≌△ACE，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）解：∵AD⊥BC，即△ADC為直角三角形，
而E是AC中點(diǎn)，即DE為斜邊AC上的中線(xiàn)，
∴DE=AE，
而B(niǎo)D=DE，
∴==，
又∵AB是直徑，
∴的度數(shù)為×180°=60°．
分析：（1）連接AD，由AB是直徑，得到AD⊥BC，又由BD=DE，則∠BAD=∠EAD，易證AB=AC；
（2）由E是AC的中點(diǎn)，得DE為斜邊AC上的中線(xiàn)，即有DE=AE，而B(niǎo)D=DE，所以有==，而它們的和為半圓，即可求出的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了圓周角的推論：直徑所對(duì)的圓周角為90度，相等的弦所對(duì)應(yīng)的弧相等．