Question

已知：⊙O分別與△ABC的兩邊AB、AC所在直線相切于點D、F，且OB=OC．
（1）如圖1，若圓心O在邊BC上，求證：AB=AC；
（2）如圖2，若圓心O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB=AC；
（3）當(dāng)小明完成以上兩小題后，得出一個結(jié)論：若圓心O在△ABC的外部，AB=AC仍然成立．你同意他的說法嗎？若同意，請證明；若不同意，請畫圖說明（不要求尺規(guī)作圖）．

Answer 1

分析：（1）可由HL證得Rt△OBD≌Rt△OCF，從而得到∠B=∠C?AB=BC；
（2）連接OD，OF，BO，CO，也可由HL證得Rt△OBD≌Rt△OCF，得到∠DBO=∠FCO，由等邊對等角得到∠OBC=∠OCB，故有∠ABC=∠ACB?AB=AC；
（3）通過作圖，可知AB=AC不一定成立．

解答：（1）證明：連接OD，OF（如圖1），
∵⊙O分別與△ABC的兩邊AB、AC所在直線相切于點D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BDO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBD和Rt△OCF中，

OD=OF OB=OC

，
∴Rt△OBD≌Rt△OCF（HL）．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
（2）連接OD，OF，BO，CO（如圖2），
∵⊙O分別與△ABC的兩邊AB、AC所在直線相切于點D、F，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，
∴∠BDO=∠CFO=90°．
∵在Rt△OBD和Rt△OCF中，

OD=OF OB=OC

，
∴Rt△OBD≌Rt△OCF（HL）．
∴∠DBO=∠FCO．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB．
∴∠DBO+∠OBC=∠FCO+∠OCB．
即∠ABC=∠ACB．
∴AB=AC．

（3）解：不一定成立，如右圖．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．利用全等三角形的性質(zhì)求線段相等時證明線段相等的最常用方法之一，要熟練掌握．