Question

在圖1、圖2、圖3、圖4中，點(diǎn)P在線段BC上移動（不與B、C重合），M在BC的延長線上．
（1）如圖1，△ABC和△APE均為正三角形，連接CE．
①求證：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度數(shù)為

 

°．
（2）①如圖2，若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE．則∠ECM的度數(shù)為

 

°．
②如圖3，若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE．則∠ECM的度數(shù)為

 

°．
（3）如圖4，n邊形ABC…和n邊形APE…均為正n邊形，連接CE，請你探索并猜想∠ECM的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的數(shù)量關(guān)系（用含n的式子表示∠ECM的度數(shù)），并利用圖4（放大后的局部圖形）證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）①由△ABC與△APE均為正三角形得出相等的角與邊，即可得出△ABP≌△ACE．
②由△ABP≌△ACE，得出∠ACE=∠B=60°，即可得出∠ECM的度數(shù)．
（2）①作EN⊥BN，交BM于點(diǎn)N，由△ABP≌△ACE，利用角及邊的關(guān)系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度數(shù)．
②作EN⊥BN，交BM于點(diǎn)N，由△ABP≌△PNE，得出角及邊的關(guān)系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度數(shù)．
（3）過E作EK∥CD，交BM于點(diǎn)K，由正多邊形的性質(zhì)可得出△ABP≌△PKE，利用角及邊的關(guān)系，得出CK=KE，即△EKC是等腰三角形，根據(jù)多邊形的內(nèi)角即可求出∠ECM的度數(shù)．

解答：解：（1）①證明：如圖1，

∵△ABC與△APE均為正三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC 
即∠BAP=∠CAE，
在△ABP和△ACE中，

AB=AC ∠BAP=∠CAE AP=AE

，
∴△ABP≌△ACE （SAS）．
②∵△ABP≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∠ECM=180°-60°-60°=60°．
故答案為：60．
（2）①如圖2，作EN⊥BN，交BM于點(diǎn)N

∵四邊形ABCD和APEF均為正方形，
∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，
∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，

∠B=∠ENP ∠BAP=∠NPE AP=PE

，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠ECM=∠CEN=45°
②如圖3，作EN∥CD交BM于點(diǎn)N，

∵五邊形ABCDF和APEGH均為正五邊方形，
∴AP=PE，∠B=∠BCD，
∵EN∥CD，
∴∠PNE=∠BCD，
∴∠B=∠PNE
∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°-∠B，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，

∠B=∠ENP ∠BAP=∠NPE AP=PE

，
∴△ABP≌△PNE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠NCE=∠NEC，
∵∠CNE=∠BCD=108°，
∴∠ECM=∠CEN=

1

2

（180°-∠CNE）=

1

2

×（180°-108°）=36°．
 故答案為：45，36．
（3）如圖4中，過E作EK∥CD，交BM于點(diǎn)K，

∵n邊形ABC…和n邊形APE…為正n邊形，
∴AB=BC    AP=PE
∠ABC=∠BCD=∠APE=

(n-2).180°

n

∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK
∴∠BAP=∠KPE
∵EK∥CD，
∴∠BCD=∠PKE
∴∠ABP=∠PKE，
在△ABP和△PKE中，

∠ABP=∠PKE ∠BAP=∠KPE AP=PE

，
∴△ABP≌△PKE（AAS）
∴BP=EK，AB=PK，
∴BC=PK，
∴BC-PC=PK-PC，
∴BP=CK，
∴CK=KE，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠CKE=∠BCD=

(n-2).180°

n

∴∠ECK=

1

2

[180°-

(n-2).180 °

n

]=

180°

n

．

點(diǎn)評：本題主要考查了四邊形綜合題，涉及三角形全等的判定及性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，運(yùn)用三角形全等求出對應(yīng)邊相等．