Question

如圖，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE與AC交于點M，EF與AC交于點N，動點P從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，伴隨點P的運動，矩形PEFG在射線AB上滑動；動點K從點P出發(fā)沿折線PE--EF以每秒1個單位長的速度勻速運動．點P、K同時開始運動，當點K到達點F時停止運動，點P也隨之停止．設點P、K運動的時間是t秒（t＞0）．
（1）當t=1時，KE=______，EN=______；
（2）當t為何值時，△APM的面積與△MNE的面積相等？
（3）當點K到達點N時，求出t的值；
（4）當t為何值時，△PKB是直角三角形？

Answer 1

解：（1）當t=1時，根據題意得，AP=1，PK=1，
∵PE=2，
∴KE=2-1=1，
∵四邊形ABCD和PEFG都是矩形，
∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，
∴=，=，
∴MP=，ME=，
∴NE=；
故答案為：1；；

（2）由（1）并結合題意可得，
AP=t，PM=t，ME=2-t，NE=-t，
∴t×t=（2-t）×（-t），
解得，t=；

（3）當點K到達點N時，則PE+NE=AP，
由（2）得，-t+2=t，
解得，t=；

（4）①當K在PE邊上任意一點時△PKB是直角三角形，
即，0＜t≤2；
②當點k在EF上時，
則KE=t-2，BP=8-t，
∵△BPK∽△PKE，
∴PK²=BP×KE，PK²=PE²+KE²，
∴4+（t-2）²=（8-t）（t-2），
解得，t=3，t=4；
綜上，當0＜t≤2或t=3或t=4時，△PKB是直角三角形．
分析：（1）利用△APM∽△ABC求出PM，然后求出ME，再利用△APM∽△NEM，就可以求出EN．
（2）△APM的面積與△MNE的面積相等，且兩個三角形相似，所以，只有兩三角形全等面積就相等，表示出三角形的面積，從而求出t值．
（3）（1）已經求出EN的值，根據EN+PE=AP的值，解出t即可．
（4）是直角三角形有兩種情況，K在PE邊上任意一點時△PKB是直角三角形，在FE上的一點時也是直角三角形．利用三角形相似求出t的值．
點評：本題主要考查了矩形的性質、相似三角形的判定與性質和勾股定理，本題綜合性比較強，考查了學生對于知識的綜合運用能力和空間想象能力．