Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=2a．作斜邊AB邊中線CD，得到第一個(gè)三角形ACD；DE⊥BC于點(diǎn)E，作Rt△BDE斜邊DB上中線EF，得到第二個(gè)三角形DEF；依此作下去…則第2個(gè)三角形的面積等于

3 a2

16

，第n個(gè)三角形的面積等于

3 a2

22n

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=AD，然后判定出△ACD是等邊三角形，同理可得被分成的第二個(gè)、第三個(gè)…第n個(gè)三角形都是等邊三角形，再根據(jù)后一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)的一半求出第n個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式求解即可．

解答：解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=

1

2

AB=a．
∵CD是斜邊AB上的中線，
∴CD=AD，
∵∠A=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
同理可得，被分成的第二個(gè)、第三個(gè)…第n個(gè)三角形都是等邊三角形，
∵CD是AB的中線，EF是DB的中線，…，
∴第一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)CD=DB=

1

2

AB=AC=a，
第二個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)EF=

1

2

BD=

1

2

a，
…
第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為

1

2n-1

a，
所以，第二個(gè)三角形的面積=

1

2

×

1

2

a×（

3

2

×

1

2

a）=

3 a2

16

．
所以，第n個(gè)三角形的面積=

1

2

×

1

2n-1

a×（

3

2

•

1

2n-1

a）=

3 a2

22n

．
故答案分別是：

3 a2

4

，

3 a2

22n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積判斷出后一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)三角形邊長(zhǎng)的一半，求出第n個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．