Question

如圖，邊長為3的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到的正方形EFCG，EF交AD交于點(diǎn)H．
（1）求證：DH=FH．
（2）求DH的長．

Answer 1

分析：（1）連接CH．根據(jù)全等三角形的判定定理HL證得Rt△CDH≌Rt△CFH；然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形（Rt△CDH≌Rt△CFH）的對應(yīng)角相等推知∠1=∠2=∠3=30°，所以在Rt△CDH中由“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得HC=2DH；最后在Rt△CDH中根據(jù)勾股定理來求DH的值．

解答：（1）證明：連接HC．
∵正方形EFCG是由正方形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后得到的，
∴CD=CF，∠D=∠F=Rt∠．
在Rt△CDH和Rt△CFH中，

HC=HC CD=CF

，
∴Rt△CDH≌Rt△CFH（HL），
∴DH=FH；

（2）解：∵正方形EFCG是由正方形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)30°后得到的，
∴∠1=30°，∠BCD=∠1+∠2+∠3=90°．
由（1）得Rt△CDH≌Rt△CFH．
∴∠2=∠3=

1

2

（90°-∠1）=30°
∵在Rt△CDH中，∠3=30°，
∴DH=

1

2

HC，即HC=2DH．
由勾股定理得，HC²=DH²+CD²，
∵CD=3，
∴（2DH）²=DH²+3²，
解得，DH=

3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等．在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，是解決問題的關(guān)鍵．