Question

（2013•四會市二模）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF=2OA，OE=2OD，連結EF，將△FOE繞點O逆時針旋轉α角得到△F′OE′（如圖2）．連結AE′、BF′．
（1）探究AE′與BF′的數量關系，
并給予證明；
（2）當α=30°，AB=2時，求：
①∠AE′O的度數；
②BF′的長度．

Answer 1

分析：（1）首先證明△AOE′≌△BOF′，根據全等三角形的對應邊相等，即可證得；
（2）①延長OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．易證△OME′是等邊三角形，據此即可證明∠E′AO=90°，則∠AE′O的度數即可求得；
②在直角△AOB中，利用三角函數即可求得OB的長，然后在直角△OBF′中利用三角函數求得BF′的長．

解答：解：（1）∵正方形ABCD中，OA=OD=OB，
又∵OF=2OA，OE=2OD，
∴OE=OF，則OE′=OF′，
在△AOE′和△BOF′中，

OE1=OF1 ∠AOE1=∠BOF1 OA=OB

，
∴△AOE′≌△BOF′
∴AE′=BF′；
（2）①延長OA到M，使AM=OA，則OM=OE′．
∵正方形ABCD中，∠AOD=90°，
∴∠AOE′=90°-30°=60°，
∴△OME′是等邊三角形，
又∵AM=OA，
∴AE′⊥OM，
則∠E′AO=90°，
∴∠AOE′=90°-α=60°，
∴在直角△AOE′中，∠AE′O=90°-∠AOE′=30°；
②∵∠AOE′=90°-α=60°，∠E′OF′=90°，
∴∠AOF′=30°，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BOF′=60°，
又∵等腰直角△AOB中，OB=

2

2

AB=

2

，
∴BF′=

3

OB=

6

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，以及正方形的性質，正確證明三角形全等是關鍵．