Question

已知矩形ABCD中，AD=nAB，E為AB的中點，BF⊥CE于點F，過點F作DF的垂線交直線BC于G．
（1）如圖1，當(dāng)n=1時，求證：△BFG∽△CFD；
（2）如圖2，當(dāng)n=2時，求證：CG=7BG．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出AB∥CD，∠ABC=90°，求出∠FBC=∠BEC=∠DCF，根據(jù)相似三角形的判定推出即可．
（2）求出AD=BC=4BE，推出

BE

BC

=

1

4

，證△CFB∽△CBE，求出

BF

CF

=

EB

BC

=

1

4

，求出

BF

CF

=

BG

CD

=

1

4

，推出CD=4BG，求出BC=8BG即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，
∴四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ABC=90°，
∴∠BEC+∠BCE=90°，
∵BF⊥CE，
∴∠FBC+∠BCE=90°，
∴∠FBC=∠BEC，
∵AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∴∠FBC=∠DCF，
∵BF⊥EC，F(xiàn)G⊥DF，
∴∠BFC=∠DFG=90°，
∴∠BFG=∠DFC=90°-∠GFC，
∵∠FBC=∠DCF，
∴△BFG∽△CFD．

（2）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=CD，
∵AD=2AB，AB=2BE，
∴AD=BC=4BE，
即

BE

BC

=

1

4

，
∵∠CBE=∠BFC=90°，∠FCB=∠FCB，
∴△CFB∽△CBE，
∴

BF

CF

=

EB

BC

=

1

4

，
∵△BFG∽△CFD，
∴

BF

CF

=

BG

CD

=

1

4

，
即CD=4BG，
∵AD=BC=2AB=2CD，
∴BC=8BG，
∴CG=BC-BG=7BG．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力．