Question

求證：銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內心．

Answer 1

分析：首先根據題意設計出圖形及用幾何語言來表達題意：已知△ABC中，H為垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求證：垂足H為△DEF的內心．首先證明四邊形AEHF、四邊形CDHE是圓內接四邊形，從而根據圓周角定理、在Rt△ABD與Rt△BCF中，有公共∠B，推出∠HEF=∠HED，得出EH平分∠DEF．同理可到到DH、FH分別平分∠EDF、∠EFD．根據三角形內切圓性質定理，得到證明．

解答：證明：∵HF⊥AF、HE⊥AE，
∴四邊形AEHF是圓內接四邊形，
同理，四邊形CDHE也是圓內接四邊形，
∴∠HEF=∠HAF、∠DEH=∠DCH，
∵∠HAF=90°-∠ABC=∠DCH，
∴∠HEF=∠HED，
即：EH平分∠DEF，
同理可得：DH、FH分別平分∠EDF、∠EFD，
∴銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內心．

點評：本題考查內切圓與內心、圓周角定理．解決本題的關鍵是證明四邊形AEHF、四邊形CDHE分別是圓內接四邊形，利用圓周角定理從而建立起角相等的關系．