Question

已知：如圖，把矩形放置于直角坐標(biāo)系中，，，取的中點(diǎn)，連結(jié)，把沿軸的負(fù)方向平移的長(zhǎng)度后得到.

(1)試直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)與點(diǎn)在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié).

①若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，試求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

②試問(wèn)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得的值最大.

Answer 1

解：(1)依題意得：；

(2) ① ∵，，∴.

 ∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線的解析式為

又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)

∴   解得：

∴拋物線的解析式為.

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴設(shè)點(diǎn).

1)若∽，則， ，解得：(舍去)或，

∴點(diǎn).

2)若∽，則， ，解得：(舍去)或，

∴點(diǎn).

②存在點(diǎn)，使得的值最大.

拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，則點(diǎn).

∵點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，

∴

要使得的值最大，即是使得的值最大，

根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)、、三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，的值最大.

設(shè)過(guò)、兩點(diǎn)的直線解析式為，

∴    解得：

∴直線的解析式為.

當(dāng)時(shí)，.

∴存在一點(diǎn)使得最大.