Question

如圖，直線（k＞0）與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、P、O（原點(diǎn)）．
（1）求過A、P、O的拋物線解析式；
（2）在（1）中所得到的拋物線上，是否存在一點(diǎn)Q，使∠QAO=45°？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，
所以c=0；
∵直線（k＞0）與y軸交于B點(diǎn)，
∴B（0，3）；
∵點(diǎn)A在x軸上，
∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為0，
∵P是線段AB的中點(diǎn)，故P點(diǎn)縱坐標(biāo)==，
∴=，
解得b=-4（正值舍去）；
故拋物線的解析式為：y=-x²-4x．

（2）由（1）的拋物線解析式，易求得A（-，0）；
①當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，由于∠OAQ=45°，
所以設(shè)直線AQ的解析式為：y=x+h，則有：
-+h=0，h=；
∴直線AQ：y=x+；
聯(lián)立拋物線的解析式有：
，
解得，；
故Q（-，）；
②當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，同①可求得Q（，-）．
綜上可知：存在符合條件的Q點(diǎn)，且坐標(biāo)為：Q（-，）或（，-）．
分析：（1）根據(jù)直線AB的解析式，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，而P為線段AB的中點(diǎn)，那么點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為B點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，由于拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，那么c=0，根據(jù)公式法表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可求得b的值，由此確定該拋物線的解析式．
（2）此題應(yīng)分兩種情況討論：
①當(dāng)Q點(diǎn)在x軸上方時(shí)，由于∠OAQ=45°，那么直線AQ的斜率為k=1，而A點(diǎn)坐標(biāo)易求得，即可得到直線AQ的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)Q點(diǎn)在x軸下方時(shí)，方法同①．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，難度適中．