Question

我們給定兩個(gè)全等的正方形ABCD、AEFG，它們共頂點(diǎn)A（如圖1），可以繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，CD，EF相交于點(diǎn)P，以下各問題都以此為前提．
問題要求：
（1）連接BE、DG（如圖2），求證：BE=DG，BE⊥DG；
（2）連接BG、CF（如圖3），有三個(gè)結(jié)論：
①BG∥CF；
②△ABG∽△PCF；
③△ABG與△PCF位似．
請(qǐng)你從①，②，③三個(gè)結(jié)論中選擇一個(gè)進(jìn)行證明：
（說明：選①做對(duì)的得3分，選②做對(duì)的得4分，選③做對(duì)的得5分）
（3）連接BE、CF（如圖4），求

BE

CF

的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得AB=AD，∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG，AE=AG，由邊角邊判定方法即可證得△ABE≌△ADG，即BE=DG；∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，所以△ADG可以看成由△ABE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，即BE⊥DG；
（2）根據(jù)等邊對(duì)等角即可證得BG∥CF；根據(jù)平行線的性質(zhì)可的對(duì)應(yīng)角相等，即可證得②△ABG∽△PCF；續(xù)②連接AP交GF的延長(zhǎng)線于Q₁，交BC的延長(zhǎng)線于Q₂，由位似的性質(zhì)即可求得；
（3）連接AC，AF可證得△ABE∽△ACF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．

解答：解：（1）證明：∵AB=AD，∠BAE=90°-∠EAD=∠DAG，AE=AG
∴△ABE≌△ADG，即BE=DG．（2分）
分別延長(zhǎng)GD，BE交于點(diǎn)M交EF于點(diǎn)N，
∵∠CEN+ENM=∠MEN+∠AGD=∠BEA+∠NEM=90°
∴BE⊥GD
（∵△ABE≌△ADG，AB⊥AD，AE⊥AG，∴△ADG可以看成由△ABE繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°，即BE⊥DG．）（3分）

（2）證明：①∵AB=AG，
∴∠ABG=∠AGB，∠CBG=∠FGB．
∴∠GBC=∠BGF，
又∵BC=GF，
∴∠BCF=∠GFC，
又∵∠CBG+∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°，
∴∠CBG+∠BCF=180°，即BG∥CF；（6分）
②續(xù)①又∵AB∥PC，AG∥PF，
∴∠ABG=∠PCF，∠AGB=∠PFC即△ABG∽△PCF；（7分）
③續(xù)②連接AP交GF的延長(zhǎng)線于Q₁，交BC的延長(zhǎng)線于Q₂，
則

Q1P

Q1A

=

PF

AG

，

Q2P

Q2A

=

PC

AB

，而AB=AG，PC=PF
∴

Q1P

Q1A

=

Q2P

Q2A

，亦有

Q1P

AP

=

Q2P

AP

，Q₁P=Q₂P
∴Q₁，Q₂重合，即BC，AP，GF相交于點(diǎn)Q，△ABG與△PCF位似．（8分）
（3）連接AC，AF可證得△ABE∽△ACF，

BE

CF

=

AB

AC

=

1

2

=

2

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形與全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．還要注意輔助線的選擇．