Question

（本題滿分12分）

如圖，已知拋物線y=x²+bx－3a過點(diǎn)A（1，0），B（0，－3），與x軸交于另一點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P，使△PBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）拋物線的解析式為y=x2+2x－3 （2）點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－4）（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－2，－3）

【解析】

試題分析：解：（1）把A（1，0），B（0，－3）代入y=x²+bx－3a中，得

解得

∴拋物線的解析式y=x²+2x－3

（2）令y=0，得x²+2x－3=0，

解得x₁=－3，x₂=1

∴點(diǎn)C（－3，0）

∵B（0，－3）

∴△BOC為等腰直角三角形.

∴∠CBO=45°過點(diǎn)P作PD⊥y軸，垂足為D，

∵PB⊥BC，∴∠PBD=45°∴PD=BD

所以可設(shè)點(diǎn)P（x，－3+x）

則有－3+x=x²+2x－3，∴x=－1，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－4）

（3）由（2）知，BC⊥BP

當(dāng)BP為直角梯形一底時(shí)，由圖象可知點(diǎn)Q不可能在拋物線上.

若BC為直角梯形一底，BP為直角梯形腰時(shí)，

∵B（0，－3），C（－3，0），

∴直線BC的解析式為y=－x－3

∵直線PQ∥BC，且P（－1，－4），

∴直線PQ的解析式為y=－（x+1）－3－1即y=－x－5            

聯(lián)立方程組得

解得x₁=－1，x₂=－2

∴x=－2，y=－3，即點(diǎn)Q（－2，－3）

∴符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－2，－3）

考點(diǎn)：二次函數(shù)

點(diǎn)評：本題難度較大。主要考查學(xué)生對幾種函數(shù)的綜合運(yùn)用。是中考的常考題型，復(fù)習(xí)備考時(shí)應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。