Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，將直角三角板EPF的直角頂點(diǎn)P放在線段BC的中點(diǎn)上，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板并保證三角板的兩直角邊PE、PF分別與線段AC、AB相交，交點(diǎn)分別為N、M．線段MN、AP相交于點(diǎn)D．
（1）請(qǐng)你猜出線段PM與PN的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)線段AM的長(zhǎng)為x，△PMN的面積為y，試用關(guān)于x的代數(shù)式表示y；
（3）當(dāng)AM的長(zhǎng)x取何值時(shí)，△PMN的面積y最��？最小值是多少？

Answer 1

解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CP=BP，
∴∠APC=∠EPF=90°，
∠APE=90°-∠APF=∠BPF，
又AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，
∴△NAP≌△MBP，
∴PN=PM，

（2）作PW⊥AC，PR⊥AB，
∴PW∥AB，PR∥AC，
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴PW=1，PR=1，
∵設(shè)線段AM的長(zhǎng)為x，
∴BM=2-x，
∵BM=AN，
∴CN=2-（2-x）=x，
∴y=S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM
=×2×2-×x×1-×1×（2-x）-x（2-x），
=2-x-1+x-x+x²，
=x²-x+1，

（3）當(dāng)x=-=-=1時(shí)，△PMN的面積y最小，
最小值為：==．
分析：（1）根據(jù)∠APC=∠EPF=90°，得出∠APE=90°-∠APF=∠BPF，再利用AP=BP，∠BAP=∠PBA=45°，即可得出△NAP≌△MBP，得出PN=PM；
（2）利用S_△PMN=S_△ABC-S_△PCN-S_△PMB-S_△NAM，表示出各三角形的面積即可得出答案；
（3）利用二次函數(shù)最值求法直接求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定與三角形面積求法以及二次函數(shù)最值求法，此題綜合性較強(qiáng)，根據(jù)全等的性質(zhì)表示出各三角形面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．