Question

已知一個兩位數，其十位與個位數字分別為p、q，二次函數y=x²+qx+p的圖象與x軸交于不同的兩點A、B，頂點為C，且S_△ABC≤1，
（1）求q²-4p的取值范圍；
（2）求出所有這樣的兩位數

.

pq

．

Answer 1

（1）設A（x₁，0），B（x₂，0），（x₁≠x₂），
則x₁、x₂是方程x²+qx+p=0的兩個不同的實根，
所以x₁+x₂=-q，x₁x₂=p，q²-4p＞0，
又yc=

4p-q2

4

（y_c表示點C的縱坐標），所以
S_△ABC=

1

2

|x1-x2|•|yc|=

1

2

q2-4p

•|

4p-q2

4

|≤1，
從而（q²-4p）³≤64，q²-4p≤4，
故0＜q²-4p≤4；

（2）由（1）知，q²-4p=1，2，3，4，
因為q²被4除余數為0或1，
故q²-4p被4除余數也是0或1，
從而q²-4p=1，或q²-4p=4，
這兩個方程中符合題意的整數解有：

p=2 q=3

，

p=6 q=5

，

p=3 q=4

，

p=8 q=6

．
故所有兩位數

.

pq

為23，65，34，86．