Question

如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于E點(diǎn)，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，連接DE．
（1）請判斷DE與⊙O是怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．
（2）若⊙O的半徑為4，DE=3，求AE的長．

Answer 1

（1）相切．
證明：連接OE，BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∴在Rt△BEC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴DE=BD=CD=

1

2

BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，OB=OE，
∴∠1=∠2，∠1+∠4=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠AEO+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠AEO=∠3，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵∠3=∠4，
∴∠AEO=∠4，
∴△AEO∽△EBD，
∴

OA

DE

=

AE

BE

，
設(shè)AE=x，則BE=

AB2-AE2

=

64-x2

，
∴

4

3

=

x

64-x2

，
∴x=6.4．
∴AE=6.4．