【題目】拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)

求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;

該拋物線與直線相交于C、D兩點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)且位于x軸下方,直線軸,分別與x軸和直線CD交于點(diǎn)M、N

連結(jié)PC、PD,如圖1,在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的面積是否存在最大值?若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說(shuō)明理由;

連結(jié)PB,過(guò)點(diǎn)C,垂足為點(diǎn)Q,如圖2,是否存在點(diǎn)P,使得相似?若存在,求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的面積存在最大值,最大值為81;

存在點(diǎn)P,使得相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【解析】

(1)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)①聯(lián)立拋物線與直線CD的解析式成方程組,通過(guò)解方程組可求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為,,根據(jù)三角形面積公式可得出,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題;②利用相似三角形的性質(zhì)可得出:若相似,則有,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,進(jìn)而可得出,,,,將其代入中即可求出x的值,結(jié)合即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

(1)∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn),

,

解得

該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為;

(2))①聯(lián)立拋物線與直線CD的解析式成方程組,

得:,

解得:,,

相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為,

,

,

當(dāng)時(shí),取最大值,最大值為81,

在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的面積存在最大值,最大值為81

②∵,

相似,則有

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

,,,

當(dāng)或時(shí),有,

解得:,舍去,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

當(dāng)時(shí),有,

解得:舍去,

點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上所述:存在點(diǎn)P,使得相似,點(diǎn)P的坐標(biāo)為

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2)請(qǐng)畫(huà)出ABC關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的A2B2C2,并寫(xiě)出點(diǎn)A2的坐標(biāo);

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