Question

如圖，過等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，且PA=CQ，連PQ交AC邊于D．
（1）求證：PD=DQ；
（2）若△ABC的邊長為1，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）過P做BC的平行線至AC于F，易證△APF是等邊三角形，再證明△PFD與△QCD全等，得出結(jié)論；
（2）利用△APF是等邊三角形，PE⊥AC，得出AE=EF，再由△PFD≌△QCD，得出CD=DF，由此得出DE與AC的關(guān)系解決問題．

解答：（1）證明：
如圖，

過P做PF∥BC交AC于點F，
∴∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFP=60°，
∴△APF是等邊三角形；
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ
∴△PFD≌△QCD，
∴PD=DQ．

（2）△APF是等邊三角形，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
△PFD≌△QCD，
∴CD=DF，
DE=EF+DF=

1

2

AC，
∵AC=1，
DE=

1

2

．

點評：此題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)、三線合一以及三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點．