Question

【題目】如圖，為的外接圓，，作直線，于．

（1）圖1，求證：是的切線；

（2）圖2，交于點，過點作，垂足為，交于點．

①求證：；

②若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）①證明見詳解；②．

【解析】

(1)連接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可證出△OAC≌△OAB(SSS)，利用全等三角形的性質可得出∠OAC=∠OAB，即AO平分∠BAC，利用垂徑定理可得出AO⊥BC，結合AD//BC可得出AD⊥AO，由此即可證出AD是⊙O的切線；
(2)①連接AE，由圓內接四邊形對角互補結合∠BCE=90°可得出∠BAE=90°，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，結合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC，由平行線的性質可得∠BAD+∠ABC=180°，即可得結論；
②由∠ADC=∠AFB=90°，∠ACD=∠ABF，AC=AB可證出△ADC≌△AFB(AAS)，利用全等三角形的性質可求出AF，BF的長，設FG=x，在Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，即可求解．

證明：(1)如圖1，連接OA，OB，OC．

在△OAC和△OAB中，
，
∴△OAC≌△OAB(SSS)，
∴∠OAC=∠OAB，
∴AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC．
又∵AD//BC，
∴AD⊥AO，
∴AD是⊙O的切線．
(2)①證明：如圖2，連接AE．

∵AD//BC，AD⊥CD，
∴∠BCE=90°，
∴∠BAE=90°．
又∵AF⊥BE，
∴∠AFB=90°．
∵∠BAG+∠EAF=∠AEB+∠EAF=90°，
∴∠BAG=∠AEB．
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，
∴∠BAG=∠ABC，
∵AD//BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∴∠BAD+∠BAG=180°；
②在△ADC和△AFB中，
，
∴△ADC≌△AFB(AAS)，
∴AF=AD=3，BF=CD=4，
∵∠BAG=∠ABC，
∴AG=BG
設FG=x，在Rt△BFG中，FG=x，BF=4，BG=AG=x+3，
∴FG2+BF2=BG2，即x2+42=(x+3)2，
∴x=，
∴FG=．