Question

如圖，點A為x軸負半軸上一點，點B為x軸正半軸上一點，OA，OB（OA?OB）的長分別是關于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，C（0，3），且△ABC的面積為6，
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）如圖二，過點C作CD⊥AC交x軸于點D，求點D的坐標．

Answer 1

解：（1）∵C（0，3）
∴OC=3，
∵△ABC的面積為6，
∴AB=4，
∵OA、OB的長分別是關于x的一元二次方程x²-4mx+m²+2=0的兩根，
∴OA+OB=4m=4
∴m=1
∴一元二次方程x²-4mx+m²+2=0可化為：x²-4x+3=0
解得：x₁=1 x₂=3
即OA=1，OB=3
在Rt△OBC中，OB=OC
∴∠ABC=45°；

（2）設D點坐標為（x，0）
在Rt△ACD中
AC²+CD²=AD²
即：（1-0）²+（0-3）²+（x-0）²+（0-3）²=（1+x）²
解得：x=9
即：D點坐標為（9，0）．
分析：（1）要求∠ABC的度數(shù)，需先求出OB的長；先利用△ABC的面積求出OA+OB的值進而求出m，得出方程式，進而求出OA、OB的值，從而求出∠ABC的度數(shù)；
（2）先設出D點的坐標，再根據(jù)D點坐標分表示出Rt△ACD的三條邊，根據(jù)勾股定理列出方程，從而求出D點坐標．
點評：本題考查綜合應用點的坐標，三角形的面積．