Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞0，設(shè)y=x₁+x₂，當(dāng)y取得最小值時(shí)，求相應(yīng)m的值，并求出最小值．

Answer 1

分析：（1）由于關(guān)于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，所以二次項(xiàng)系數(shù)m≠0，并且方程的判別式△≥0，由此求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出x₁+x₂的表達(dá)式，進(jìn)而可得出y、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及（1）題得出的自變量的取值范圍，即可求出y的最小值及對應(yīng)的m值．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx²=2（1-m）x-m的兩實(shí)數(shù)根為x₁，x₂，
∴m≠0，且△=b²-4ac=[-2（1-m）]²-4m²=4（1-2m）≥0，
1-2m≥0，
∴m≤

1

2

且m≠0；

（2）∵x₁，x₂為mx²=2（1-m）x-m的兩根，
∴y=x₁+x₂=

2(1-m)

m

=

2

m

-2，
又∵0＜m≤

1

2

；
∴y隨m的增大而減小，
∴當(dāng)m=

1

2

時(shí)，y取最小值，此時(shí)y=4-2=2．

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及反比例函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．牢記反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答（2）題的關(guān)鍵．