如圖1所示，△ABC，△DEB為等邊三角形，點(diǎn)E在線段DC上，AB與DC的交點(diǎn)為F，AE的延長線交BC于點(diǎn)G，AD=2DB

（1）求證：AD=CE；
（2）求證：AE⊥DC；
（3）以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC、EA所在直線分別作x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖2所示，且有A（0，3
3
），D（-3，0），設(shè)△ADF的面積為S1，△ECG的面積為S2，試判斷式子S2-S1＞1是否成立？請(qǐng)說明理由．
分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，求出∠ABD=∠CBE，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可．
（2）取EC中點(diǎn)H，連接AH，求出EC=2BD=2DE，
即E、H為DC的三等份點(diǎn)，推出E為DH中點(diǎn)，求出DH=2DE=AD，得出△ADH是等邊三角形，推出AD=AH，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)推出即可．
（3）過B作BI⊥DC于I，連接BH，證△ADE≌△HDB，推出∠DBH=∠AED=90°，BH=AE，求出DE=3，AE=3
3
，AD=2BD=2DE=6，求出IE=
1
2
DE=
3
2
，根據(jù)三角形面積公式得出S△DBH=
1
2
×DH×BI=
1
2
×BD×BH，求出BI=
3
2
3
，求出C（6，0），求出直線AB的解析式是y=3
3
x+3
3
，直線BC的解析式是y=
3
3
5
x-
6
3
5
，求出F、G的坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式求出S1，S2，即可求出答案．
解答：證明：（1）∵△ABC，△DEB為等邊三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中
AB=BC
∠ABD=∠CBE
BD=BE

∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE．

（2）證明：取EC中點(diǎn)H，連接AH，
∵△BDE是等邊三角形，
∴∠EDB=∠DEB=60°，
∴∠BEC=180°-∠BED=120°，
由（1）知：△ADB≌△CEB，
∴∠ADB=∠BEC=120°，
∴∠ADE=120°-60°=60°，
∵AD=2BD，
∴EC=2BD=2DE，
即E、H為DC的三等份點(diǎn)，
∴E為DH中點(diǎn)，
∴DH=2DE=AD，
∵∠ADE=60°，
∴△ADH是等邊三角形，
∴DH=AD=AH，
∴AE⊥DC（三線合一）．

（3）解：成立，
理由是：過B作BI⊥DC于I，連接BH，
∵在△ADE和△HDB中
AD=DH
∠ADE=∠HDB=60°
DE=DB

∴△ADE≌△HDB（SAS），
∴∠DBH=∠AED=90°，BH=AE，
∵A（0，3
3
），D（-3，0），
∴DE=3，AE=3
3
，AD=2BD=2DE=6，
∵BD=BE，BI⊥CD，
∴IE=
1
2
DE=
3
2
，
∴S△DBH=
1
2
×DH×BI=
1
2
×BD×BH，
即6×BI=3×3
3
，
BI=
3
2
3
，
由（1）知：EC=AD=6，
∴C（6，0），
設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，
把A（0，3
3
），B（-
3
2
，-
3
2
3
）代入得：
b=3
3
-
3
2
k+b=-
3
2
3

解得：k=3
3
，b=3
3
，
∴直線AB的解析式是y=3
3
x+3
3
，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
即F（-1，0），
∴S1=S△ADF=
1
2
DF×AE=
1
2
×2×3
3
=3
3
；
設(shè)直線BC的解析式是y=ax+c，
把C（6，0），B（-
3
2
，-
3
2
3
代入得：
6a+c=0
-
3
2
a+c=-
3
2
3
，
解得：a=
3
3
5
，c=-
6
5
3
，
即直線BC的解析式是y=
3
3
5
x-
6
3
5
，
當(dāng)x=0時(shí)，y=-
6
3
5
，
即G（0，-
6
3
5
），
S2=S△ECG=
1
2
EG×EC=
1
2
×
6
3
5
×6=
18
3
5
，
∴S2-S1=
18
3
5
-3
3
=
3
3
5
，
∵3
3
=
27
，5=
25
，
∴
3
3
5
＞1，
即S2-S1＞1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形性質(zhì)，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，難度偏大．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1是三個(gè)邊長為2的正方形小方格，反比例函數(shù)y=
kx
經(jīng)過正方形格點(diǎn)D，與小方格交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，直線EF的解析式為y=mx+a．如圖2所示的△ABC為Rt△，∠B=90°，AB=10厘米，BC=a厘米．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）求一次函數(shù)的解析式．
（3）已知點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC邊向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度移動(dòng)，如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒種后，△BPQ的面積與是△ABC的面積一半？
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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•保定二模）（1）如圖1所示，△ABC是正三角形，E，D分別是以C為頂點(diǎn)的CB和AC延長線上的點(diǎn)，且BE=CD，連接DB并延長，交AE于F．求∠AFB的度數(shù)；
（2）若將（1）中正△ABC改成正四邊形ABCM，如圖2 所示，E，D分別是以C為頂點(diǎn)的CB和MC延長線上的點(diǎn)，且BE=CD，連接DB并延長，交AE于F．求∠AFB的度數(shù)；
（3）若將（2）中正△ABC改成正五邊形ABCMN，如圖3 所示，其它條件均不變，則∠AFB的度數(shù)為
108°
108°
；
（4）若將（1）中正△ABC改成正n邊形ABCM…N，如圖4所示，其它條件均不變，根據(jù)（1），（2），（3）中所展現(xiàn)的規(guī)律用含字母n的代數(shù)式表達(dá)∠AFB的度數(shù)，并說明理由．
（5）若將（2）中正四邊形ABCM改成正六邊形ABCMKN，其它條件均不變，則∠AFB的度數(shù)為
120°
120°
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（1）閱讀證明
①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．
②如圖2，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的
BC
上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．
（2）知識(shí)遷移
根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：
第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在
BC
上取一點(diǎn)P0，連接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C=P0A+（P0B+P0C）=P0A+
P0D
P0D
；
第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，線段
AD
AD
的長度即為△ABC的費(fèi)馬距離．
（3）知識(shí)應(yīng)用
已知三村莊A，B，C構(gòu)成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設(shè)的輸水管總長度最�。筝斔芸傞L度的最小值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1所示，△ABC中，∠A=96°．
（1）BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，請(qǐng)你求∠A1的度數(shù)；
（2）BA2平分∠A1BC，CA2平分∠A1CD，請(qǐng)你求∠A2的度數(shù)；
（3）依此類推，寫出∠An與∠A的關(guān)系式．
（4）如圖2，小明同學(xué)用下面的方法畫出了α角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，垂足為O，作∠PON的角平分線OE，點(diǎn)A、B分別是OE、PQ上任意一點(diǎn)，再作∠ABP的平分線BD，BD的反向延長線交∠OAB的平分線于點(diǎn)C，那么∠C就是所求的α角，則α的度數(shù)為
22.5°
22.5°
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案