Question

分解因式：x⁴+2x³+3x²+2x+1=

 

．

Answer 1

分析：本題所給的是一元整系數(shù)多項式，根據(jù)求根法，若原式有有理根，則只可能是±1（1的約數(shù)），經(jīng)檢驗，它們都不是原式的根，所以，在有理數(shù)集內(nèi)，原式?jīng)]有一次因式．如果原式能分解，只能分解為（x²+ax+b）（x²+cx+d）的形式．

解答：解：設原式=（x²+ax+b）（x²+cx+d）=x⁴+（a+c）x³+（b+d+ac）x²+（ad+bc）x+bd，
所以有

a+c=2 b+d+ac=3 ad+bc=2 bd=1

，解得

a=1 b=1 c=1 d=1

．
∴原式=（x²+x+1）（x²+x+1）=（x²+x+1）²．
故答案為（x²+x+1）²．

點評：本題考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應用．在因式分解時，一些多項式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個因式，但這幾個因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該多項式等于這幾個因式的乘積，根據(jù)多項式恒等的性質，兩邊對應項系數(shù)應該相等，或取多項式中原有字母的幾個特殊值，列出關于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．待定系數(shù)法是數(shù)學中的一種重要的解題方法，應用很廣泛．本題超出教材大綱要求，屬于競賽題，有一定難度．