Question

如圖，拋物線經(jīng)過點A（-4，0）、B（-2，2），連接OB、AB。

（1）求該拋物線的解析式；
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形；
（3）將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135°，得到△OA′B′，寫出A′B′的中點P的坐標，試判斷點P是否在此拋物線上；
（4）在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形ABOM成直角梯形，若存在，請求出點M坐標及該直角梯形的面積，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由A（-4，0）、B（-2，2）在拋物線圖象上，得： ，解之得， ∴該函數(shù)解析式為：； （2）過點B作BC垂直于軸，垂足是點C， 易知：線段CO、CA、CB的長度均為2， ∴△ABC和△OBC為全等的等腰直角三角形， ∴AB=OB 且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°， ∴△OAB是等腰直角三角形； （3）如圖，將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉135°，得到△OA′B′其中點B′正好落在軸上且B′A′∥軸， 又∵OB′和A′B′的長度為，A′B′中點P的坐標為，顯然不滿足拋物線方程， ∴點P不在此拋物線上； （4）存在。 過點O，作OM∥AB交拋物線于點M，易求出直線OM的解析式為：y=x， 聯(lián)立拋物線解析式得：，解之得，點M（-6，-6）， 顯然，點M（-6，-6）關于對稱軸x=-2的對稱點M′（2，-6）也滿足要求，故滿足條件的點M共有兩個，坐標分別為（-6，-6）和（2，-6）， ∴S△BOM=S△ABO+S△AOM=×4×2+×4×6=16。