Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為A（4，4），且拋物線經(jīng)過原點，和x軸相交于另一點B，以AB為一邊在直線AB的右側(cè)畫正方形ABCD．
（1）求拋物線的解析式和點C、D的坐標；
（2）能否將此拋物線沿著直線x=4平移，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過正方形ABCD的另兩個頂點C、D若能，寫出平移后拋物線的解析式；若不能，請說明理由；
（3）若以點A（4，4）為圓心，r為半徑畫圓，請你探究：
①當r=

 

時，⊙A上有且只有一個點到直線BD的距離等于2；
②當r=

 

時，⊙A上有且只有三個點到直線BD的距離等于2；
③隨著r的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點的個數(shù)也隨著變化，請根據(jù)⊙A上到直線BD的距離等于2的點的個數(shù)，討論相應(yīng)的r的值或取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，將原點坐標代入即可求出其解析式．
根據(jù)拋物線的頂點A的坐標即可得出拋物線的對稱軸為x=4，已知O、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么B點的坐標為（8，0）．根據(jù)A（4，4）可得出∠AOB=45°，即△OAB為等腰直角三角形，因此O、A、D三點同線，直線BD與y軸平行，直線AC與x軸平行，因此D點坐標為（8，8），C點坐標為（12，4）；
（2）可先設(shè)出平移后拋物線的解析式，然后將D點坐標代入，即可求出平移后拋物線的解析式，再將C點坐標代入拋物線中進行驗證即可；
（3）①此種情況為圓A與直線BD相離，由于圓心A到BD的距離為4，因此r=4-2=2．
②此種情況圓A與直線BD相交，設(shè)與BD垂直的半徑為AM，那么M到直線BD的距離為2，因此半徑AM=4+2=6．
③根據(jù)①②可知：當0＜r＜2時0個；當r=2時1個；當2＜r＜6時2個；當r=6時3個；
當r＞6時，應(yīng)該有4個點到直線BD的距離為2．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-4）²+4，
則有：a（0-4）²+4=0，
解得a=-

1

4

．
∴y=-

1

4

（x-4）²+4．
根據(jù)A（4，4）可知，∠AOB=45°
∵AO=AB，
∴△AOB為等腰直角三角形．
∴∠OAB=90°，即O、A、D三點共線，
因此直線BD∥y軸，直線AC∥x軸，
則有：C（12，4）D（8，8）．

（2）設(shè)平移后的拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-4）²+4+h（h＞0），
將C點坐標代入有：4=-

1

4

（12-4）²+4+h，
解得h=16
∴平移后拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-4）²+20
當x=8時，y=12≠8，
因此不能使平移后的拋物線恰好經(jīng)過正方形ABCD的另兩個頂點C、D．

（3）①2；②6；
③當0＜r＜2時0個；當r=2時1個；當2＜r＜6時2個；當r=6時3個；當r＞6時4個．

點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，以及直線與圓的位置關(guān)系等知識．