Question

如圖，△ABC和△ECD都是等邊三角形，B，C，D三點(diǎn)共線，AD 與BE相交于點(diǎn)O，AD與CE交與點(diǎn)F，AC與BE交于點(diǎn)G．
（1）找出圖中的一對(duì)全等三角形，并說明理由．
（2）求∠BOD的度數(shù)．
（3）連接GF，判斷△CGF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過觀察圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以證明△BCE≌△ACD；
（2）由（1）△BCE≌△ACD可以得出∠ADC=∠BEC，而有∠AOB=∠EBC+∠ADB，就有∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°，從而可以求出∠BOD的值；
（3）通過證明△BGC≌△AFC就可以得出CG=CF，由∠ACE=60°，就可以得出△CGF是等邊三角形．

解答：解：（1）△BCE≌△ACD
理由：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
∵∠BCE=∠ACD．
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠ADC=∠BEC．
∵∠AOB=∠EBC+∠ADC，
∴∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°．
∵∠AOB+∠BOD=180°，
∴∠BOD=120°；

（3）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD．
∵∠BCA=∠ECD=60°
∴∠ACE=60°，
∴∠ACE=∠BCA．
在△BGC和△AFC中，

∠CBE=∠CAD BC=AC ∠BCA=∠ACE

，
∴△BGC≌△AFC（ASA），
∴GC=FC．
∵∠GCF=60°，
∴△GFC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是解答的關(guān)鍵．