(2003•武漢)已知:拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),且滿足4a+2b+c>0,以下結(jié)論:①a+b>0;②a+c>0;③-a+b+c>0;④b2-2ac>5a2,其中正確的個(gè)數(shù)有( )
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
【答案】分析:(1)因?yàn)閽佄锞y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),把點(diǎn)(-1,0)代入解析式,結(jié)合4a+2b+c>0,即可整理出a+b>0;
(2)②+①×2得,6a+3c>0,結(jié)合a<0,故可求出a+c>0;
(3)畫草圖可知c>0,結(jié)合a-b+c=0,可整理得-a+b+c=2c>0,從而求得-a+b+c>0;
(4)把(-1,0)代入解析式得a-b+c=0,可得出2a+c>0,再由a<0,可知c>0則c-2a>0,故可得出(c+2a)(c-2a)>0,即b2-2ac-5a2>0,進(jìn)而可得出結(jié)論.
解答:解:(1)因?yàn)閽佄锞y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),
所以原式可化為a-b+c=0----①,
又因?yàn)?a+2b+c>0----②,
所以②-①得:3a+3b>0,
即a+b>0;

(2)②+①×2得,6a+3c>0,
即2a+c>0,
∴a+c>-a,
∵a<0,
∴-a>0,
故a+c>0;

(3)因?yàn)?a+2b+c>0,可以看作y=ax2+bx+c(a<0)當(dāng)x=2時(shí)的值大于0,草圖為:
可見c>0,
∵a-b+c=0,
∴-a+b-c=0,
兩邊同時(shí)加2c得-a+b-c+2c=2c,
整理得-a+b+c=2c>0,
即-a+b+c>0;

(4)∵過(guò)(-1,0),代入得a-b+c=0,
∴b2-2ac-5a2=(a+c)2-2ac-5a2=c2-4a2=(c+2a)(c-2a)
又∵4a+2b+c>0
4a+2(a+c)+c>0
即2a+c>0①
∵a<0,
∴c>0
則c-2a>0②
由①②知(c+2a)(c-2a)>0,
所以b2-2ac-5a2>0,
即b2-2ac>5a2
綜上可知正確的個(gè)數(shù)有4個(gè).
故選D.
點(diǎn)評(píng):此題是一道結(jié)論開放性題目,考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根的個(gè)數(shù)和圖象的位置之間的關(guān)系,同時(shí)結(jié)合了不等式的運(yùn)算,是一道難題.
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(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)是否存在著直線y=kx+b與拋物線交于點(diǎn)P、Q,使y軸平分△CPQ的面積?若存在,求出k、b應(yīng)滿足的條件;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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A.①②
B.②③④
C.①③④
D.①②④

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