Question

如圖，已知?ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，M為OD的中點(diǎn)，過M的直線分別交AD于CD于P、Q，與BA、BC的延長線于E、F

（1）如圖1，若EF∥AC，求證：PE+QF=2PQ；
（2）如圖2，若EF與AC不平行，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，加以證明；不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由MP∥OA，DM=MO，得出DP=PA．再由平行四邊形的性質(zhì)得出∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP，然后利用AAS證明△APE≌△DPQ，得出PE=PQ．同理，QF=PQ，則PE+QF=2PQ；
（2）過O點(diǎn)作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，由梯形中位線的性質(zhì)定理得出AP+CF=2ON，再利用AAS證明△OMN≌△DMP，得出ON=PD，則AP+CF=2PD．然后由CF∥PD，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

QF

PQ

=

CF

PD

，由DQ∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

PE

PQ

=

AP

PD

，將兩個(gè)式子相加，化簡整理后得出QF+PE=2PQ，判斷（1）中的結(jié)論仍然成立．

解答：解：（1）如圖1，∵M(jìn)P∥OA，DM=MO，
∴DP=PA．
在?ABCD中，∵AB∥CD，
∴∠EAP=∠QDP，∠AEP=∠DQP．
在△APE與△DPQ中，

∠EAP=∠QDP ∠AEP=∠DQP PA=PD

，
∴△APE≌△DPQ（AAS），
∴PE=PQ．
同理，QF=PQ，
∴PE+QF=2PQ；

（2）若EF與AC不平行，則（1）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：
如圖2，過O點(diǎn)作ON∥AD交EF于N，則ON是梯形CFPA的中位線，則AP+CF=2ON．
易證△OMN≌△DMP，
∴ON=PD，
∴AP+CF=2PD．
∵CF∥PD，∴

QF

PQ

=

CF

PD

，
∵DQ∥AE，∴

PE

PQ

=

AP

PD

，
∴

QF

PQ

+

PE

PQ

=

CF

PD

+

AP

PD

，即

QF+PE

PQ

=

CF+AP

PD

=

2PD

PD

=2，
∴QF+PE=2PQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，梯形的中位線定理，平行線分線段成比例定理，有一定難度．（2）中正確地作出輔助線，利用平行線分線段成比例定理得出

QF

PQ

=

CF

PD

和

PE

PQ

=

AP

PD

，是解題的關(guān)鍵．