Question

如圖，已知△ABC的頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)（不在直線BC上），B′是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，C′是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接BC′、CB′、BB′、CC′．
（1）猜想線段BC′與CB′的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到怎樣的位置時(shí)，四邊形BCB′C′為菱形？這樣的位置有幾個(gè)？請(qǐng)用語言對(duì)這樣的位置進(jìn)行描述（不用證明）；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線（BC的中點(diǎn)及到BC的距離為的點(diǎn)除外）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷以點(diǎn)B、C、B′、C′為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，畫出相應(yīng)的示意圖．（不用證明）

Answer 1

解：（1）猜想：BC′=CB′
∵B′是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)
∴AC垂直平分BB'
∴BC=B'C
同理BC=BC'
∴BC'=CB'

（2）要使BCB'C'是菱形
根據(jù)菱形的性質(zhì)，對(duì)角線互相垂直平分
∵B′是點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)，C′是點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)
∴AC垂直平分BB'AB垂直平分CC'
∴BB'、CC'應(yīng)該同時(shí)過A點(diǎn)
∴∠BAC=90°
∴只要AB⊥AC即可滿足要求，這樣的位置有無數(shù)個(gè)

（3）如圖，當(dāng)A是BC的中點(diǎn)時(shí)，沒有形成四邊形
當(dāng)A到BC的距離為時(shí)
∵l是BC的垂直平分線
∴∠ACB=∠ABC=30°
∴∠BAC=120°
∴∠BOC=60°
∴BC=CB'=B'C'=BC'
∴BCB'C'為菱形
當(dāng)BC的中點(diǎn)及到BC的距離為的點(diǎn)除外時(shí)
∵∠BOC=B'OC'OB=OC OB'=OC'
∴∠OBC=∠OCB=∠OB'C'=∠OC'B'
∴BC∥B'C'
∵BC'不平行CB'BC'=CB'
四邊形BCB'C'為等腰梯形．
分析：在（1）中，根據(jù)題意結(jié)合圖形可以很容易發(fā)現(xiàn)BC′=CB′．
（2）中BCB′C′為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)角線互相垂直平分，而AC⊥BB′，AB⊥CC′，所以只要BB′與CC′相交于A點(diǎn)即可，即△ABC為直角三角形．
（3）分情況討論可以得出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題可以很好的培養(yǎng)觀察推理能力，按照要求畫出圖形可以更清楚的解題．