Question

如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.

（1）如圖2，當(dāng)BP=BA時(shí)，∠EBF=　▲　°，猜想∠QFC=  ▲ °；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想∠QFC的度數(shù)，并加以證明；

（3）已知線段AB=，設(shè)BP=，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y，求y關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

 

Answer 1

解: （1） 　30°

　　　　 　　　 = 60°

　　 　　 （2）=60°

不妨設(shè)BP＞, 如圖1所示

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP　

∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP

∴∠BAP=∠EAQ　　　　　　　　

在△ABP和△AEQ中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ

∴△ABP≌△AEQ（SAS）

∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF

∴=60°

(事實(shí)上當(dāng)BP≤時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）

　　　　　 (3)在圖1中，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BE于點(diǎn)G

　　 　　　 ∵△ABE是等邊三角形　 　　∴BE=AB=，由（1）得30°

　　　　　　 在Rt△BGF中，　　 ∴BF=　　 ∴EF=2

　　 　　　 ∵△ABP≌△AEQ　　　 ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF

_{過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BC，垂足為H}

在Rt△QHF中，（x＞0）

_{即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是：}