Question

已知點(diǎn)P是矩形ABCD邊AB上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．  
（1）如圖①，現(xiàn)將△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在A(yíng)D上取一點(diǎn)F，將△PAF沿PF翻折得到△PGF，并使得射線(xiàn)PE、PG重合，試問(wèn)FG與CE的位置關(guān)系如何，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）在（1）中，如圖②，連接FC，取FC的中點(diǎn)H，連接GH、EH，請(qǐng)你探索線(xiàn)段GH和線(xiàn)段EH的大小關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；
（3）如圖③，分別在A(yíng)D、BC上取點(diǎn)F、C′，使得∠APF=∠BPC′，與（1）中的操作相類(lèi)似，即將△PAF沿PF翻折得到△PFG，并將△PBC′沿PC′翻折得到△PEC′，連接FC′，取FC′的中點(diǎn)H，連接GH、EH，試問(wèn)（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可以得到∠G=∠GEC=90°，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，即可證明兩條直線(xiàn)平行；
（2）延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，結(jié)合（1）中的結(jié)論證明△GFH≌△MHC，再運(yùn)用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半進(jìn)行證明結(jié)論；
（3）取PF的中點(diǎn)M，PC'的中點(diǎn)N，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半以及三角形的中位線(xiàn)定理得到平行四邊形，這幾個(gè)平行四邊形的性質(zhì)證明要證明的兩條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形全等，從而證明結(jié)論．
解答：解：（1）FG∥CE，在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，由題意得
∠G=∠A=90°，∠PEC=∠B=90°
∴∠GEC=90°
∴∠G=∠GEC
∴FG∥CE．

（2）GH=EH．
延長(zhǎng)GH交CE于點(diǎn)M，由（1）得，F(xiàn)G∥CE
∴∠GFH=∠MCH
∵H為CF的中點(diǎn)
∴FH=CH
又∵∠GHF=∠MHC
∴△GFH≌△MHC
∴GH=HM=，
∵∠GEC=90°
∴EH=
∴GH=EH．
 

（3）（2）中的結(jié)論還成立．
取PF的中點(diǎn)M，PC'的中點(diǎn)N，連接GM，EN，HM，HN，
∵∠FGP=90°，M為PF的中點(diǎn)
∴，，HM∥PC'
∴GM=PM
∴∠GPF=∠MGP
∴∠GMF=∠GPF+∠MGP=2∠GPF
∵H為FC'的中點(diǎn)，M為PF的中點(diǎn)
∴
同理，，HN∥PF，∠ENC'=2∠EPC'
∴GM=HN，HM=EN
∵∠GPF=∠FPA，∠EPC'=∠BPC'
又∵∠BPC'=∠APF，
∴∠GPF=∠EPC'
∴∠GMF=∠ENC'，
∵HM∥PC'，HN∥PF
∴四邊形HMPN為平行四邊形
∴∠HMF=∠HNC'
∴∠GMH=∠HNE
∵GM=HN，HM=EN
∴△GMH≌△HNE
∴GH=HE．
點(diǎn)評(píng)：綜合考查圖形變換的性質(zhì)，邏輯推理能力以及探究能力．會(huì)熟練運(yùn)用全等的性質(zhì)和中位線(xiàn)定理解題是基本的數(shù)學(xué)能力．