Question

如圖，⊙O中延長半徑CO交弦AB于點(diǎn)P，∠OAB=30°，設(shè)∠OCB=α，∠COA=β．
（1）當(dāng)α=40°時，β=______°；
（2）用含α的代數(shù)式表示β，則β=______；
（3）當(dāng)α=30°時，求證：OC=2OP．

Answer 1

解：（1）連接OB，
∵OB=OC=OA，∠OAB=30°，∠OCB=α=40°，
∴∠OBC=∠OCB=α=40°，∠A=∠OBA=30°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°，
∴β=∠COA=360°-∠BOC-∠AOB=140°；
故答案為：140゜；

（2）連接OB，
∵OB=OC=OA，∠OAB=30°，∠OCB=α，
∴∠OBC=∠OCB=α，∠A=∠OBA=30°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-2α，∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=120°，
∴β=∠COA=360°-∠BOC-∠AOB=2α+60°；
故答案為：2α+60゜

（3）當(dāng)α=30°時，β=2α+60゜=120゜，
∴∠OPA=120゜-30゜=90゜，
∵∠A=30゜，
∴OA=2OP，
∵OA=OC，
∴OC=2OP．
分析：（1）首先連接OB，可求得∠OBC與∠OBA的度數(shù)，繼而求得∠BOC與∠AOB的度數(shù)，則可求得β的值；
（2）同理（1），可用含α的代數(shù)式表示β；
（3）由（2）可求得β的度數(shù)，即可得△AOP是直角三角形，繼而可證得OC=2OP．
點(diǎn)評：此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．