Question

如圖，在Rt△ABC中，AB=CB，BO⊥AC，把△ABC折疊，使AB落在AC上，點(diǎn)B與AC上的點(diǎn)E重合，展開后，折痕AD交BO于點(diǎn)F，連接DE、EF．下列結(jié)論：
①四邊形BDEF是菱形；②四邊形DFOE的面積=三角形AOF的面積
其中正確的結(jié)論（　　）

A．①是真命題②是假命題

B．①是假命題②是真命題

C．①是真命題②是真命題

D．①是假命題②是假命題

Answer 1

分析：首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BF=EF，BD=ED，再結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和及外角的性質(zhì)得出∠BFD=∠BDF，由等邊對(duì)等角得出BD=BF，然后根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形可判斷①正確；連接CF，先根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等得出S_△AOF=S_△COF，再由同底等高的兩個(gè)三角形面積相等得出S_△EFD=S_△EFC，從而得到S_{四邊形DFOE}=S_△COF，進(jìn)而可判斷②正確．

解答：解：①∵把△ABC折疊，使AB落在AC上，點(diǎn)B與AC上的點(diǎn)E重合，展開后，折痕AD交BO于點(diǎn)F，
∴BF=EF，BD=ED．
∵OB⊥AC，且AB=CB，
∴BO為∠ABC的平分線，即∠ABO=∠OBC=45°，
由折疊可知，AD是∠BAC的平分線，即∠BAF=22.5°，
又∵∠BFD為△ABF的外角，
∴∠BFD=∠ABO+∠BAF=67.5°，
∴∠BDF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF，
∴BF=EF=BD=ED，
∴四邊形BDEF是菱形，故①正確；
②連接CF．
∵△AOF和△COF等底同高，
∴S_△AOF=S_△COF，
∵四邊形BDEF是菱形，
∴EF∥CD，
∴S_△EFD=S_△EFC，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△COF，
∴S_{四邊形DFOE}=S_△AOF，故②正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了翻折變換，菱形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定，面積的計(jì)算等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度中等．用到的知識(shí)點(diǎn)為：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；四邊相等的四邊形是菱形；三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分；兩條平行線間的距離相等．