Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，將一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在斜邊AC上，將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)O為AC中點(diǎn)時(shí)，
①如圖①，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF，猜想線段AE、CF與EF之間存在的等量關(guān)系（無(wú)需證明）；
②如圖②，三角板的兩直角邊分別交AB，BC延長(zhǎng)線于E、F兩點(diǎn)，連接EF，判斷①中的猜想是否成立．若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)O不是AC中點(diǎn)時(shí)，如圖③，三角板的兩直角邊分別交AB，BC于E、F兩點(diǎn)，若

AO

AC

=

1

4

，求

OE

OF

的值．

Answer 1

分析：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²，連接OB，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF即可；
②成立．連結(jié)OB，求出OB=

1

2

AC=OC，∠BOC=90°，∠EOB=∠FOC，∠EBO=∠FCO，證△OEB≌△OFC，推出BE=CF，在Rt△EBF中，由勾股定理得出BF²+BE²=EF²，即可得出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，證△OME∽△ONF，推出

OM

ON

=

OE

OF

，證△AOM∽△OCN，得出比例式，即可得出答案．

解答：解：（1）①猜想：AE²+CF²=EF²．
②成立．
證明：連結(jié)OB．
∵AB=BC，∠ABC=90°，O點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，
∴OB=

1

2

AC=OC，∠BOC=90°，∠ABO=∠BCO=45°．
∵∠EOF=90°，
∴∠EOB=∠FOC，
又∵∠EBO=∠FCO，
在△OEB和△OFC中

∠EOB=∠COF OB=OC ∠OBE=∠OCF

∴△OEB≌△OFC（ASA），
∴BE=CF，
又∵BA=BC，
∴AE=BF．
在Rt△EBF中，∵∠EBF=90°，
∴BF²+BE²=EF²，
∴AE²+CF²=EF²．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N．
∵∠B=90°，
∴∠MON=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠EOM=∠FON．
∵∠EMO=∠FNO=90°，
∴△OME∽△ONF，
∴

OM

ON

=

OE

OF

，
∵△AOM和△OCN為等腰直角三角形，
∴△AOM∽△OCN，
∴

OM

ON

=

AO

OC

，
∵

AO

AC

=

1

4

，
∴

OE

OF

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，證明過(guò)程類似．